Algèbre Exemples

$16 x^{4} + 31 x^{2} = 2$

Étape 1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$16 x^{4} + 31 x^{2} - 2 = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$16 {(x^{2})}^{2} + 31 x^{2} - 2 = 0$

Étape 2.2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$16 u^{2} + 31 u - 2 = 0$

Étape 2.3

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 16 \cdot - 2 = - 32$ et dont la somme est $b = 31$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Factorisez $31$ à partir de $31 u$ .

$16 u^{2} + 31 (u) - 2 = 0$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez $31$ comme $- 1$ plus $32$

$16 u^{2} + (- 1 + 32) u - 2 = 0$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$16 u^{2} - 1 u + 32 u - 2 = 0$

Étape 2.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(16 u^{2} - 1 u) + 32 u - 2 = 0$

Étape 2.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (16 u - 1) + 2 (16 u - 1) = 0$

Étape 2.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $16 u - 1$ .

$(16 u - 1) (u + 2) = 0$

Étape 2.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$(16 x^{2} - 1) (x^{2} + 2) = 0$

Étape 2.5

Réécrivez $16 x^{2}$ comme ${(4 x)}^{2}$ .

$({(4 x)}^{2} - 1) (x^{2} + 2) = 0$

Étape 2.6

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$({(4 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 2) = 0$

Étape 2.7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4 x$ et $b = 1$ .

$(4 x + 1) (4 x - 1) (x^{2} + 2) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$4 x - 1 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

Étape 4

Définissez $4 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez $4 x + 1$ égal à $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $4 x + 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = - 1$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = - 1$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - 1$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{4}$

Étape 5

Définissez $4 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez $4 x - 1$ égal à $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $4 x - 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 1$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 1$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 1$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Étape 6

Définissez $x^{2} + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez $x^{2} + 2$ égal à $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x^{2} + 2 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 2$

Étape 6.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Étape 6.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Étape 6.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Étape 6.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Étape 6.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{2}$

Étape 6.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{2}$

Étape 6.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 x + 1) (4 x - 1) (x^{2} + 2) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$