Algèbre Exemples

${(2 x^{3} + 1)}^{5}$

Étape 1

Le triangle de Pascal peut être affiché ainsi :

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

Le triangle peut être utilisé pour calculer les coefficients du développement de ${(a + b)}^{n}$ en prenant l’exposant $n$ et en ajoutant $1$ . Les coefficients correspondront à la droite $n + 1$ du triangle. Pour ${(2 x^{3} + 1)}^{5}$ , $n = 5$ les coefficients du développement correspondront donc à la droite $6$ .

Étape 2

Le développement suit la règle ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Les valeurs des coefficients, à partir du triangle, sont $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a$ $2 x^{3}$ et $b$ $1$ dans l’expression.

$1 {(2 x^{3})}^{5} {(1)}^{0} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez $1$ par ${(1)}^{0}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.1

Déplacez ${(1)}^{0}$ .

${(1)}^{0} \cdot 1 {(2 x^{3})}^{5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.1.2

Multipliez ${(1)}^{0}$ par $1$ .

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Étape 4.1.2.1

Élevez $1$ à la puissance $1$ .

${(1)}^{0} \cdot 1^{1} {(2 x^{3})}^{5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1^{0 + 1} {(2 x^{3})}^{5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.1.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$1^{1} {(2 x^{3})}^{5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.2

Simplifiez $1^{1} {(2 x^{3})}^{5}$ .

${(2 x^{3})}^{5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.3

Appliquez la règle de produit à $2 x^{3}$ .

$2^{5} {(x^{3})}^{5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.4

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$32 {(x^{3})}^{5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{5}$ .

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Étape 4.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 x^{3 \cdot 5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.5.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$32 x^{15} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.6

Appliquez la règle de produit à $2 x^{3}$ .

$32 x^{15} + 5 (2^{4} {(x^{3})}^{4}) {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.7

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$32 x^{15} + 5 (16 {(x^{3})}^{4}) {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.8

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{4}$ .

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Étape 4.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 x^{15} + 5 (16 x^{3 \cdot 4}) {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.8.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$32 x^{15} + 5 (16 x^{12}) {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.9

Multipliez $16$ par $5$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.10

Évaluez l’exposant.

$32 x^{15} + 80 x^{12} \cdot 1 + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.11

Multipliez $80$ par $1$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.12

Appliquez la règle de produit à $2 x^{3}$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 10 (2^{3} {(x^{3})}^{3}) {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.13

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 10 (8 {(x^{3})}^{3}) {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.14

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{3}$ .

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Étape 4.14.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 10 (8 x^{3 \cdot 3}) {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.14.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 10 (8 x^{9}) {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.15

Multipliez $8$ par $10$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.16

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} \cdot 1 + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.17

Multipliez $80$ par $1$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.18

Appliquez la règle de produit à $2 x^{3}$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 10 (2^{2} {(x^{3})}^{2}) {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.19

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 10 (4 {(x^{3})}^{2}) {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.20

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 4.20.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 10 (4 x^{3 \cdot 2}) {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.20.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 10 (4 x^{6}) {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.21

Multipliez $4$ par $10$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.22

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} \cdot 1 + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.23

Multipliez $40$ par $1$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.24

Simplifiez

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 5 (2 x^{3}) {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.25

Multipliez $2$ par $5$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.26

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} \cdot 1 + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.27

Multipliez $10$ par $1$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Étape 4.28

Multipliez $1$ par ${(1)}^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.28.1

Déplacez ${(1)}^{5}$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} + {(1)}^{5} \cdot 1 {(2 x^{3})}^{0}$

Étape 4.28.2

Multipliez ${(1)}^{5}$ par $1$ .

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Étape 4.28.2.1

Élevez $1$ à la puissance $1$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} + {(1)}^{5} \cdot 1^{1} {(2 x^{3})}^{0}$

Étape 4.28.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} + 1^{5 + 1} {(2 x^{3})}^{0}$

Étape 4.28.3

Additionnez $5$ et $1$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} + 1^{6} {(2 x^{3})}^{0}$

Étape 4.29

Simplifiez $1^{6} {(2 x^{3})}^{0}$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} + 1^{6}$

Étape 4.30

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} + 1$