Algèbre Exemples

$f (r) = 4 π r^{2}$

Étape 1

Écrivez $f (r) = 4 π r^{2}$ comme une équation.

$y = 4 π r^{2}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$r = 4 π y^{2}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $4 π y^{2} = r$ .

$4 π y^{2} = r$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $4 π y^{2} = r$ par $4 π$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $4 π y^{2} = r$ par $4 π$ .

$\frac{4 π y^{2}}{4 π} = \frac{r}{4 π}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 π y^{2}}{4 π} = \frac{r}{4 π}$

Étape 3.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{π y^{2}}{π} = \frac{r}{4 π}$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π y^{2}}{π} = \frac{r}{4 π}$

Étape 3.2.2.2.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{r}{4 π}$

Étape 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{r}{4 π}}$

Étape 3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{r}{4 π}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Réécrivez $\frac{r}{4 π}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{r}{π}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $r$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} r}{4 π}}$

Étape 3.4.1.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4 π$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} r}{2^{2} π}}$

Étape 3.4.1.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} r}{2^{2} π}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{r}{π}}$

Étape 3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{r}{π}}$

Étape 3.4.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{r}{π}}$ comme $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$

Étape 3.4.4

Multipliez $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$ par $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}} \cdot \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}})$

Étape 3.4.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$ par $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{\sqrt{π} \sqrt{π}}$

Étape 3.4.5.2

Élevez $\sqrt{π}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1} \sqrt{π}}$

Étape 3.4.5.3

Élevez $\sqrt{π}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1} {\sqrt{π}}^{1}}$

Étape 3.4.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{2}}$

Étape 3.4.5.6

Réécrivez ${\sqrt{π}}^{2}$ comme $π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{π}$ comme $π^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{(π^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{1}}$

Étape 3.4.5.6.5

Simplifiez

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π}$

Étape 3.4.6

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r π}}{π}$

Étape 3.4.7

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{r π}}{π}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (r)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ est l’inverse de $f (r) = 4 π r^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (r) = 4 π r^{2}$ et $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (r) = 4 π r^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{r π}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$r π \geq 0$

Étape 5.3.2

Divisez chaque terme dans $r π \geq 0$ par $π$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $r π \geq 0$ par $π$ .

$\frac{r π}{π} \geq \frac{0}{π}$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{r π}{π} \geq \frac{0}{π}$

Étape 5.3.2.2.1.2

Divisez $r$ par $1$ .

$r \geq \frac{0}{π}$

Étape 5.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.3.1

Divisez $0$ par $π$ .

$r \geq 0$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $r$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \infty)$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $f (r) = 4 π r^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ se trouve sur la plage de $f (r) = 4 π r^{2}$ et comme la plage de $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ est le domaine de $f (r) = 4 π r^{2}$ , $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ est l’inverse de $f (r) = 4 π r^{2}$ .

$f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Étape 6