Algèbre Exemples

$\frac{5 x^{2} - 19 x + 12}{10 x - 30} \div (16 - 25 x^{2})$

Étape 1

Réécrivez la division comme une fraction.

$\frac{\frac{5 x^{2} - 19 x + 12}{10 x - 30}}{16 - 25 x^{2}}$

Étape 2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{5 x^{2} - 19 x + 12}{10 x - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot 12 = 60$ et dont la somme est $b = - 19$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 19$ à partir de $- 19 x$ .

$\frac{5 x^{2} - 19 (x) + 12}{10 x - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 19$ comme $- 4$ plus $- 15$

$\frac{5 x^{2} + (- 4 - 15) x + 12}{10 x - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{2} - 4 x - 15 x + 12}{10 x - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(5 x^{2} - 4 x) - 15 x + 12}{10 x - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (5 x - 4) - 3 (5 x - 4)}{10 x - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 x - 4$ .

$\frac{(5 x - 4) (x - 3)}{10 x - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Factorisez $10$ à partir de $10 x - 30$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $10$ à partir de $10 x$ .

$\frac{(5 x - 4) (x - 3)}{10 (x) - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Étape 4.1.2

Factorisez $10$ à partir de $- 30$ .

$\frac{(5 x - 4) (x - 3)}{10 x + 10 \cdot - 3} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Étape 4.1.3

Factorisez $10$ à partir de $10 x + 10 \cdot - 3$ .

$\frac{(5 x - 4) (x - 3)}{10 (x - 3)} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(5 x - 4) (x - 3)}{10 (x - 3)} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 x - 4}{10} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{5 x - 4}{10} \cdot \frac{1}{4^{2} - 25 x^{2}}$

Étape 5.2

Réécrivez $25 x^{2}$ comme ${(5 x)}^{2}$ .

$\frac{5 x - 4}{10} \cdot \frac{1}{4^{2} - {(5 x)}^{2}}$

Étape 5.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4$ et $b = 5 x$ .

$\frac{5 x - 4}{10} \cdot \frac{1}{(4 + 5 x) (4 - (5 x))}$

Étape 5.4

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{5 x - 4}{10} \cdot \frac{1}{(4 + 5 x) (4 - 5 x)}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{5 x - 4}{10}$ par $\frac{1}{(4 + 5 x) (4 - 5 x)}$ .

$\frac{5 x - 4}{10 ((4 + 5 x) (4 - 5 x))}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à $5 x - 4$ et $4 - 5 x$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $5 x$ .

$\frac{- (- 5 x) - 4}{10 ((4 + 5 x) (4 - 5 x))}$

Étape 6.2.2

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$\frac{- (- 5 x) - 1 (4)}{10 ((4 + 5 x) (4 - 5 x))}$

Étape 6.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 5 x) - 1 (4)$ .

$\frac{- (- 5 x + 4)}{10 ((4 + 5 x) (4 - 5 x))}$

Étape 6.2.4

Réécrivez $- (- 5 x + 4)$ comme $- 1 (- 5 x + 4)$ .

$\frac{- 1 (- 5 x + 4)}{10 ((4 + 5 x) (4 - 5 x))}$

Étape 6.2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (- 5 x + 4)}{10 (4 + 5 x) (- 5 x + 4)}$

Étape 6.2.6

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (- 5 x + 4)}{10 (4 + 5 x) (- 5 x + 4)}$

Étape 6.2.7

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{10 (4 + 5 x)}$

Étape 6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{10 (4 + 5 x)}$