Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$ comme une équation.

$y = \frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{{(y^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{{(y^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7} = x$ .

$\frac{{(y^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7} = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $7$ .

$7 \frac{{(y^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7} = 7 x$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$7 \frac{{(y^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7} = 7 x$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

${(y^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}} = 7 x$

Étape 3.4

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $5$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(y^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(7 x)}^{5}$

Étape 3.5

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.1.1

Simplifiez ${({(y^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 3.5.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 3.5.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{3} + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(7 x)}^{5}$

Étape 3.5.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.5.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y^{3} + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(7 x)}^{5}$

Étape 3.5.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y^{3} + 7)}^{1} = {(7 x)}^{5}$

Étape 3.5.1.1.2

Simplifiez

$y^{3} + 7 = {(7 x)}^{5}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez ${(7 x)}^{5}$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $7 x$ .

$y^{3} + 7 = 7^{5} x^{5}$

Étape 3.5.2.1.2

Élevez $7$ à la puissance $5$ .

$y^{3} + 7 = 16807 x^{5}$

Étape 3.6

Résolvez $y$ .

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Étape 3.6.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$y^{3} = 16807 x^{5} - 7$

Étape 3.6.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{16807 x^{5} - 7}$

Étape 3.6.3

Factorisez $7$ à partir de $16807 x^{5} - 7$ .

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Étape 3.6.3.1

Factorisez $7$ à partir de $16807 x^{5}$ .

$y = \sqrt[3]{7 (2401 x^{5}) - 7}$

Étape 3.6.3.2

Factorisez $7$ à partir de $- 7$ .

$y = \sqrt[3]{7 (2401 x^{5}) + 7 (- 1)}$

Étape 3.6.3.3

Factorisez $7$ à partir de $7 (2401 x^{5}) + 7 (- 1)$ .

$y = \sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (2401 {(\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7})}^{5} - 1)}$

Étape 5.2.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (2401 (\frac{{({(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{7^{5}}) - 1)}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.4.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (2401 (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{7^{5}}) - 1)}$

Étape 5.2.4.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.4.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (2401 (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{7^{5}}) - 1)}$

Étape 5.2.4.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (2401 (\frac{x^{3} + 7}{7^{5}}) - 1)}$

Étape 5.2.4.2

Simplifiez

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (2401 (\frac{x^{3} + 7}{7^{5}}) - 1)}$

Étape 5.2.5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.5.1

Élevez $7$ à la puissance $5$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (2401 (\frac{x^{3} + 7}{16807}) - 1)}$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun de $2401$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Factorisez $2401$ à partir de $16807$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (2401 (\frac{x^{3} + 7}{2401 (7)}) - 1)}$

Étape 5.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (2401 (\frac{x^{3} + 7}{2401 \cdot 7}) - 1)}$

Étape 5.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (\frac{x^{3} + 7}{7} - 1)}$

Étape 5.2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (\frac{x^{3} + 7}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7})}$

Étape 5.2.7

Associez $- 1$ et $\frac{7}{7}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (\frac{x^{3} + 7}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7})}$

Étape 5.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (\frac{x^{3} + 7 - 1 \cdot 7}{7})}$

Étape 5.2.9

Réécrivez $\frac{x^{3} + 7 - 1 \cdot 7}{7}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (\frac{x^{3} + 7 - 7}{7})}$

Étape 5.2.9.2

Soustrayez $7$ de $7$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (\frac{x^{3} + 0}{7})}$

Étape 5.2.9.3

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (\frac{x^{3}}{7})}$

Étape 5.2.10

Associez $7$ et $\frac{x^{3}}{7}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{\frac{7 x^{3}}{7}}$

Étape 5.2.11

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.11.1

Réduisez l’expression $\frac{7 x^{3}}{7}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.11.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{\frac{7 x^{3}}{7}}$

Étape 5.2.11.1.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1}}$

Étape 5.2.11.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Étape 5.2.12

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{{({(\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)})}^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}}^{3}$ comme $7 (2401 x^{5} - 1)$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}$ comme ${(7 (2401 x^{5} - 1))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{{({({(7 (2401 x^{5} - 1))}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{{({(7 (2401 x^{5} - 1))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Étape 5.3.3.1.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{{({(7 (2401 x^{5} - 1))}^{\frac{3}{3}} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Étape 5.3.3.1.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{{({(7 (2401 x^{5} - 1))}^{\frac{3}{3}} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Étape 5.3.3.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{{((7 (2401 x^{5} - 1)) + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Étape 5.3.3.1.1.5

Simplifiez

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{{(7 (2401 x^{5} - 1) + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Étape 5.3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{{(7 (2401 x^{5}) + 7 \cdot - 1 + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Étape 5.3.3.1.3

Multipliez $2401$ par $7$ .

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{{(16807 x^{5} + 7 \cdot - 1 + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Étape 5.3.3.1.4

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{{(16807 x^{5} - 7 + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Étape 5.3.3.2

Associez les termes opposés dans $16807 x^{5} - 7 + 7$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Additionnez $- 7$ et $7$ .

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{{(16807 x^{5} + 0)}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Étape 5.3.3.2.2

Additionnez $16807 x^{5}$ et $0$ .

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{{(16807 x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Étape 5.3.3.3

Appliquez la règle de produit à $16807 x^{5}$ .

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{16807^{\frac{1}{5}} {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Étape 5.3.3.4

Réécrivez $16807$ comme $7^{5}$ .

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{{(7^{5})}^{\frac{1}{5}} {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Étape 5.3.3.5

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{7^{5 (\frac{1}{5})} {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Étape 5.3.3.6

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{7^{5 (\frac{1}{5})} {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Étape 5.3.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{7 {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Étape 5.3.3.7

Évaluez l’exposant.

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{7 {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Étape 5.3.3.8

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Étape 5.3.3.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{7 x^{5 (\frac{1}{5})}}{7}$

Étape 5.3.3.8.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.3.8.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{7 x^{5 (\frac{1}{5})}}{7}$

Étape 5.3.3.8.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{7 x}{7}$

Étape 5.3.3.9

Simplifiez

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{7 x}{7}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{7 x}{7}$

Étape 5.3.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}$