Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{(x^{2} + x) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Étape 1

Factorisez $(x^{2} + x) (x^{2} - 8 x + 16)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$f (x) = \frac{(x \cdot x + x) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Étape 1.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x) = \frac{(x \cdot x + x) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Étape 1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$f (x) = \frac{(x \cdot x + x \cdot 1) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Étape 1.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Étape 1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) (x^{2} - 8 x + 4^{2})}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Étape 1.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Étape 1.2.3

Réécrivez le polynôme.

$f (x) = \frac{x (x + 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Étape 1.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 4$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Étape 2

Factorisez $(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x^{2} - 1^{2}) (10 x^{3} - 15 x)}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Étape 2.3

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Factorisez $5 x$ à partir de $10 x^{3} - 15 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Factorisez $5 x$ à partir de $10 x^{3}$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) (5 x (2 x^{2}) - 15 x)}$

Étape 2.3.1.2

Factorisez $5 x$ à partir de $- 15 x$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) (5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 3))}$

Étape 2.3.1.3

Factorisez $5 x$ à partir de $5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 3)$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) (5 x (2 x^{2} - 3))}$

Étape 2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) \cdot (5 x (2 x^{2} - 3))}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Annulez le facteur commun.

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) \cdot (5 x (2 x^{2} - 3))}$

Étape 3.2

Réécrivez l’expression.

$f (x) = \frac{(x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) \cdot (5 (2 x^{2} - 3))}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$f (x) = \frac{(x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) \cdot (5 (2 x^{2} - 3))}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{(x - 1) \cdot (5 (2 x^{2} - 3))}$

Étape 5

Déplacez $5$ à gauche de $x - 1$ .

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{5 \cdot ((x - 1) (2 x^{2} - 3))}$

Étape 6

Multipliez $5$ par $x - 1$ .

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{5 (x - 1) (2 x^{2} - 3)}$

Étape 7

Pour déterminer les trous dans le graphe, regardez les facteurs du dénominateur qui ont été annulés.

$x + 1, x$

Étape 8

Pour déterminer les coordonnées des trous, définissez chaque facteur qui a été annulé égal à $0$ , résolvez et remplacez à nouveau par $\frac{{(x - 4)}^{2}}{5 (x - 1) (2 x^{2} - 3)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 8.3

Remplacez $x$ par $- 1$ dans $\frac{{(x - 4)}^{2}}{5 (x - 1) (2 x^{2} - 3)}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Remplacez $x$ par $- 1$ pour déterminer la coordonnée $y$ du trou.

$\frac{{(- 1 - 4)}^{2}}{5 (- 1 - 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

Étape 8.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.1.1

Soustrayez $4$ de $- 1$ .

$\frac{{(- 5)}^{2}}{5 (- 1 - 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

Étape 8.3.2.1.2

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$\frac{25}{5 (- 1 - 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

Étape 8.3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.2.1

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{25}{5 \cdot - 2 (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

Étape 8.3.2.2.2

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$\frac{25}{- 10 (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

Étape 8.3.2.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{25}{- 10 (2 \cdot 1 - 3)}$

Étape 8.3.2.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{25}{- 10 (2 - 3)}$

Étape 8.3.2.2.5

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{25}{- 10 \cdot - 1}$

Étape 8.3.2.3

Multipliez $- 10$ par $- 1$ .

$\frac{25}{10}$

Étape 8.3.2.4

Annulez le facteur commun à $25$ et $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.4.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$\frac{5 (5)}{10}$

Étape 8.3.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.4.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 2}$

Étape 8.3.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 2}$

Étape 8.3.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{2}$

Étape 8.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 8.5

Remplacez $x$ par $0$ dans $\frac{{(x - 4)}^{2}}{5 (x - 1) (2 x^{2} - 3)}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.1

Remplacez $x$ par $0$ pour déterminer la coordonnée $y$ du trou.

$\frac{{(0 - 4)}^{2}}{5 (0 - 1) (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

Étape 8.5.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.2.1.1

Soustrayez $4$ de $0$ .

$\frac{{(- 4)}^{2}}{5 (0 - 1) (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

Étape 8.5.2.1.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$\frac{16}{5 (0 - 1) (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

Étape 8.5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.2.2.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{16}{5 \cdot - 1 (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

Étape 8.5.2.2.2

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.2.2.2.1

Factorisez le signe négatif.

$\frac{16}{- (5 (2 \cdot 0^{2} - 3))}$

Étape 8.5.2.2.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{16}{- 5 (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

Étape 8.5.2.2.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.2.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{16}{- 5 (2 \cdot 0 - 3)}$

Étape 8.5.2.2.3.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{16}{- 5 (0 - 3)}$

Étape 8.5.2.2.4

Soustrayez $3$ de $0$ .

$\frac{16}{- 5 \cdot - 3}$

Étape 8.5.2.3

Multipliez $- 5$ par $- 3$ .

$\frac{16}{15}$

Étape 8.6

Les trous dans le graphe sont les points où tout facteur annulé est égal à $0$ .

$(- 1, \frac{5}{2}), (0, \frac{16}{15})$

Étape 9