Algèbre Exemples

$\frac{3 x - 4}{x + 2} > 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$3 x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 4$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $3 x = 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 4$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Étape 4

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 5

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = \frac{4}{3}$

$x = - 2$

Étape 6

Consolidez les solutions.

$x = \frac{4}{3}, - 2$

Étape 7

Déterminez le domaine de $\frac{3 x - 4}{x + 2}$ .

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 x - 4}{x + 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 2 = 0$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 7.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < \frac{4}{3}$

$x > \frac{4}{3}$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (- 4) - 4}{(- 4) + 2} > 0$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $8$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < \frac{4}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < \frac{4}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (0) - 4}{(0) + 2} > 0$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $- 2$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{4}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{4}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (4) - 4}{(4) + 2} > 0$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $1.\overline{3}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < \frac{4}{3}$ Faux

$x > \frac{4}{3}$ Vrai

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < \frac{4}{3}$ Faux

$x > \frac{4}{3}$ Vrai

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 2$ ou $x > \frac{4}{3}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - 2 or x > \frac{4}{3}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2) \cup (\frac{4}{3}, \infty)$

Étape 12