Algèbre Exemples

$y = {(x + 2)}^{2} + 3$

Étape 1

La fonction parent est la forme la plus simple du type de fonction donné.

$y = x^{2}$

Étape 2

Simplifiez ${(x + 2)}^{2} + 3$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$y = (x + 2) (x + 2) + 3$

Étape 2.1.2

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = x (x + 2) + 2 (x + 2) + 3$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) + 3$

Étape 2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + 3$

Étape 2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + 3$

Étape 2.1.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$y = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 + 3$

Étape 2.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = x^{2} + 2 x + 2 x + 4 + 3$

Étape 2.1.3.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$y = x^{2} + 4 x + 4 + 3$

Étape 2.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$y = x^{2} + 4 x + 7$

Étape 3

Supposez que $y = x^{2}$ est $f (x) = x^{2}$ et que $y = {(x + 2)}^{2} + 3$ est $g (x) = x^{2} + 4 x + 7$ .

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = x^{2} + 4 x + 7$

Étape 4

La transformation décrite est de $f (x) = x^{2}$ à $g (x) = x^{2} + 4 x + 7$ .

$f (x) = x^{2} \to g (x) = x^{2} + 4 x + 7$

Étape 5

Déterminez la forme du sommet de $g (x) = x^{2} + 4 x + 7$ .

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Étape 5.1

Complétez le carré pour $x^{2} + 4 x + 7$ .

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Étape 5.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 7$

Étape 5.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 5.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Étape 5.1.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{2}{1}$

Étape 5.1.3.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$d = 2$

Étape 5.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 7 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 5.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à $4^{2}$ et $4$ .

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Étape 5.1.4.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 5.1.4.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.4.2.1.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 1$ .

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Étape 5.1.4.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 5.1.4.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = 7 - \frac{4}{1}$

Étape 5.1.4.2.1.1.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$e = 7 - 1 \cdot 4$

Étape 5.1.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 7 - 4$

Étape 5.1.4.2.2

Soustrayez $4$ de $7$ .

$e = 3$

Étape 5.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x + 2)}^{2} + 3$ .

${(x + 2)}^{2} + 3$

Étape 5.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = {(x + 2)}^{2} + 3$

Étape 6

Le décalage horizontal dépend de la valeur de $h$ . Le décalage horizontal est décrit comme :

$g (x) = f (x + h)$ - Le graphe est décalé de $h$ unités vers la gauche.

$g (x) = f (x - h)$ - Le graphe est décalé de $h$ unités vers la droite.

Décalage horizontal : Unités $2$ de gauche

Étape 7

Le décalage vertical dépend de la valeur de $k$ . Le décalage vertical est décrit comme :

$g (x) = f (x) + k$ - Le graphe est décalé de $k$ unités vers le haut.

$g (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

Décalage vertical : $3$ unités vers le haut

Étape 8

Le graphe est reflété autour de l’abscisse quand $g (x) = - f (x)$ .

Réflexion par rapport à l’abscisse : Aucune

Étape 9

Le graphe est reflété autour de l’ordonnée quand $g (x) = f (- x)$ .

Réflexion par rapport à l’ordonnée : Aucune

Étape 10

La compression et le développement dépendent de la valeur de $a$ .

Quand $a$ est supérieur à $1$ : Étiré verticalement

Où $a$ est compris entre $0$ et $1$ : Comprimé verticalement

Compression verticale ou étirement : Aucune

Étape 11

Comparez et énumérez les transformées.

Fonction parent : $y = x^{2}$

Décalage horizontal : Unités $2$ de gauche

Décalage vertical : $3$ unités vers le haut

Réflexion par rapport à l’abscisse : Aucune

Réflexion par rapport à l’ordonnée : Aucune

Compression verticale ou étirement : Aucune

Étape 12