Algèbre Exemples

${(x^{2} + 4 x + 11)}^{\frac{3}{2}} + 1 = 0$

Étape 1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

${(x^{2} + 4 x + 11)}^{\frac{3}{2}} = - 1$

Étape 2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{2}{3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(x^{2} + 4 x + 11)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Simplifiez ${({(x^{2} + 4 x + 11)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 4 x + 11)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 4 x + 11)}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} + 4 x + 11)}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} + 4 x + 11)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} + 4 x + 11)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} + 4 x + 11)}^{1} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.1.2

Simplifiez

$x^{2} + 4 x + 11 = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(- 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1.1.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$x^{2} + 4 x + 11 = {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + 4 x + 11 = {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + 4 x + 11 = {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + 4 x + 11 = {(- 1)}^{2}$

Étape 3.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x^{2} + 4 x + 11 = 1$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 4 x + 11 - 1 = 0$

Étape 4.1.2

Soustrayez $1$ de $11$ .

$x^{2} + 4 x + 10 = 0$

Étape 4.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 4$ et $c = 10$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 10)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

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Étape 4.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $10$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.3

Soustrayez $40$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.4

Réécrivez $- 24$ comme $- 1 (24)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (24)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.7

Réécrivez $24$ comme $2^{2} \cdot 6$ .

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Étape 4.4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$

Étape 4.4.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$ .

$x = - 2 \pm i \sqrt{6}$

Étape 4.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 2 + i \sqrt{6}, - 2 - i \sqrt{6}$