Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + 10 x + 24}{x^{2} + 5 x + 4} \cdot \frac{x^{3} - 64 x}{x^{3} - 64 x} \cdot \frac{x + 1}{x^{3} + 14 x^{2} + 48 x}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} + 14 x^{2} + 48 x$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 24}{x^{2} + 5 x + 4} \cdot \frac{x^{3} - 64 x}{x^{3} - 64 x} \cdot \frac{x + 1}{x \cdot x^{2} + 14 x^{2} + 48 x}$

Étape 1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $14 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 24}{x^{2} + 5 x + 4} \cdot \frac{x^{3} - 64 x}{x^{3} - 64 x} \cdot \frac{x + 1}{x \cdot x^{2} + x (14 x) + 48 x}$

Étape 1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $48 x$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 24}{x^{2} + 5 x + 4} \cdot \frac{x^{3} - 64 x}{x^{3} - 64 x} \cdot \frac{x + 1}{x \cdot x^{2} + x (14 x) + x \cdot 48}$

Étape 1.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (14 x)$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 24}{x^{2} + 5 x + 4} \cdot \frac{x^{3} - 64 x}{x^{3} - 64 x} \cdot \frac{x + 1}{x (x^{2} + 14 x) + x \cdot 48}$

Étape 1.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} + 14 x) + x \cdot 48$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 24}{x^{2} + 5 x + 4} \cdot \frac{x^{3} - 64 x}{x^{3} - 64 x} \cdot \frac{x + 1}{x (x^{2} + 14 x + 48)}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} + 14 x + 48$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $48$ et dont la somme est $14$ .

$6, 8$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x^{2} + 10 x + 24}{x^{2} + 5 x + 4} \cdot \frac{x^{3} - 64 x}{x^{3} - 64 x} \cdot \frac{x + 1}{x ((x + 6) (x + 8))}$

$\frac{x^{2} + 10 x + 24}{x^{2} + 5 x + 4} \cdot \frac{x^{3} - 64 x}{x^{3} - 64 x} \cdot \frac{x + 1}{x (x + 6) (x + 8)}$

Étape 2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3} - 64 x$ .

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} + 10 x + 24}{x^{2} + 5 x + 4} \cdot \frac{x^{3} - 64 x}{x^{3} - 64 x} \cdot \frac{x + 1}{x (x + 6) (x + 8)}$

Étape 2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} + 10 x + 24}{x^{2} + 5 x + 4} \cdot 1 \cdot \frac{x + 1}{x (x + 6) (x + 8)}$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{x^{2} + 10 x + 24}{x^{2} + 5 x + 4}$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 24}{x^{2} + 5 x + 4} \cdot \frac{x + 1}{x (x + 6) (x + 8)}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} + 10 x + 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $24$ et dont la somme est $10$ .

$4, 6$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 4) (x + 6)}{x^{2} + 5 x + 4} \cdot \frac{x + 1}{x (x + 6) (x + 8)}$

Étape 4

Factorisez $x^{2} + 5 x + 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $4$ et dont la somme est $5$ .

$1, 4$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 4) (x + 6)}{(x + 1) (x + 4)} \cdot \frac{x + 1}{x (x + 6) (x + 8)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $x + 6$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $x + 6$ à partir de $(x + 4) (x + 6)$ .

$\frac{(x + 6) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} \cdot \frac{x + 1}{x (x + 6) (x + 8)}$

Étape 5.1.2

Factorisez $x + 6$ à partir de $x (x + 6) (x + 8)$ .

$\frac{(x + 6) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} \cdot \frac{x + 1}{(x + 6) (x (x + 8))}$

Étape 5.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 6) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} \cdot \frac{x + 1}{(x + 6) (x (x + 8))}$

Étape 5.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 4}{(x + 1) (x + 4)} \cdot \frac{x + 1}{x (x + 8)}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 4}{(x + 1) (x + 4)} \cdot \frac{x + 1}{x (x + 8)}$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 4}{x + 4} \cdot \frac{1}{x (x + 8)}$

Étape 5.3

Multipliez $\frac{x + 4}{x + 4}$ par $\frac{1}{x (x + 8)}$ .

$\frac{x + 4}{(x + 4) (x (x + 8))}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $x + 4$ .

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 4}{(x + 4) (x (x + 8))}$

Étape 5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x (x + 8)}$