Algèbre Exemples

${(x - 3)}^{2} + y^{2} \leq 9$

Étape 1

Soustrayez ${(x - 3)}^{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$y^{2} \leq 9 - {(x - 3)}^{2}$

Étape 2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{y^{2}} \leq \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| y | \leq \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $\sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}$ .

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$| y | \leq \sqrt{3^{2} - {(x - 3)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3$ et $b = x - 3$ .

$| y | \leq \sqrt{(3 + x - 3) (3 - (x - 3))}$

Étape 3.2.1.3

Simplifiez

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Étape 3.2.1.3.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$| y | \leq \sqrt{(x + 0) (3 - (x - 3))}$

Étape 3.2.1.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$| y | \leq \sqrt{x (3 - (x - 3))}$

Étape 3.2.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$| y | \leq \sqrt{x (3 - x - - 3)}$

Étape 3.2.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$| y | \leq \sqrt{x (3 - x + 3)}$

Étape 3.2.1.3.5

Additionnez $3$ et $3$ .

$| y | \leq \sqrt{x (- x + 6)}$

Étape 4

Écrivez $| y | \leq \sqrt{x (- x + 6)}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 4.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$y \geq 0$

Étape 4.2

Dans la partie où $y$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$

Étape 4.3

Déterminez le domaine de $y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$ et déterminez l’intersection avec $y \geq 0$ .

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Étape 4.3.1

Déterminez le domaine de $y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x (- x + 6)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x (- x + 6) \geq 0$

Étape 4.3.1.2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.1

Simplifiez $x (- x + 6)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.1.1

Simplifiez en multipliant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (- x) + x \cdot 6 \geq 0$

Étape 4.3.1.2.1.1.2

Remettez dans l’ordre.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.1.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- x \cdot x + x \cdot 6 \geq 0$

Étape 4.3.1.2.1.1.2.2

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$- x \cdot x + 6 \cdot x \geq 0$

Étape 4.3.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$- (x \cdot x) + 6 \cdot x \geq 0$

Étape 4.3.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- x^{2} + 6 \cdot x \geq 0$

$- x^{2} + 6 x \geq 0$

Étape 4.3.1.2.2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- x^{2} + 6 x = 0$

Étape 4.3.1.2.3

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{2} + 6 x$ .

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Étape 4.3.1.2.3.1

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + 6 x = 0$

Étape 4.3.1.2.3.2

Factorisez $- x$ à partir de $6 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 6 = 0$

Étape 4.3.1.2.3.3

Factorisez $- x$ à partir de $- x (x) - x (- 6)$ .

$- x (x - 6) = 0$

Étape 4.3.1.2.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

Étape 4.3.1.2.5

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 4.3.1.2.6

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.6.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 4.3.1.2.6.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 4.3.1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- x (x - 6) = 0$ vraie.

$x = 0, 6$

Étape 4.3.1.2.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 6$

$x > 6$

Étape 4.3.1.2.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 4.3.1.2.9.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$(- 2) (- (- 2) + 6) \geq 0$

Étape 4.3.1.2.9.1.3

Le côté gauche $- 16$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 4.3.1.2.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 4.3.1.2.9.2.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$(3) (- (3) + 6) \geq 0$

Étape 4.3.1.2.9.2.3

Le côté gauche $9$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 4.3.1.2.9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 4.3.1.2.9.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$(8) (- (8) + 6) \geq 0$

Étape 4.3.1.2.9.3.3

Le côté gauche $- 16$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 4.3.1.2.9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 6$ Vrai

$x > 6$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 6$ Vrai

$x > 6$ Faux

Étape 4.3.1.2.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 \leq x \leq 6$

Étape 4.3.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $y$ qui rendent l’expression définie.

$[0, 6]$

Étape 4.3.2

Déterminez l’intersection de $y \geq 0$ et $[0, 6]$ .

$0 \leq y \leq 6$

Étape 4.4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$y < 0$

Étape 4.5

Dans la partie où $y$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$

Étape 4.6

Déterminez le domaine de $- y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$ et déterminez l’intersection avec $y < 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Déterminez le domaine de $- y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x (- x + 6)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x (- x + 6) \geq 0$

Étape 4.6.1.2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.2.1

Simplifiez $x (- x + 6)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.2.1.1

Simplifiez en multipliant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (- x) + x \cdot 6 \geq 0$

Étape 4.6.1.2.1.1.2

Remettez dans l’ordre.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.2.1.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- x \cdot x + x \cdot 6 \geq 0$

Étape 4.6.1.2.1.1.2.2

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$- x \cdot x + 6 \cdot x \geq 0$

Étape 4.6.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$- (x \cdot x) + 6 \cdot x \geq 0$

Étape 4.6.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- x^{2} + 6 \cdot x \geq 0$

$- x^{2} + 6 x \geq 0$

Étape 4.6.1.2.2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- x^{2} + 6 x = 0$

Étape 4.6.1.2.3

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{2} + 6 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.2.3.1

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + 6 x = 0$

Étape 4.6.1.2.3.2

Factorisez $- x$ à partir de $6 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 6 = 0$

Étape 4.6.1.2.3.3

Factorisez $- x$ à partir de $- x (x) - x (- 6)$ .

$- x (x - 6) = 0$

Étape 4.6.1.2.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

Étape 4.6.1.2.5

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 4.6.1.2.6

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.2.6.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 4.6.1.2.6.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 4.6.1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- x (x - 6) = 0$ vraie.

$x = 0, 6$

Étape 4.6.1.2.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 6$

$x > 6$

Étape 4.6.1.2.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.2.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.2.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 4.6.1.2.9.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$(- 2) (- (- 2) + 6) \geq 0$

Étape 4.6.1.2.9.1.3

Le côté gauche $- 16$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 4.6.1.2.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.2.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 4.6.1.2.9.2.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$(3) (- (3) + 6) \geq 0$

Étape 4.6.1.2.9.2.3

Le côté gauche $9$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 4.6.1.2.9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.2.9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 4.6.1.2.9.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$(8) (- (8) + 6) \geq 0$

Étape 4.6.1.2.9.3.3

Le côté gauche $- 16$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 4.6.1.2.9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 6$ Vrai

$x > 6$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 6$ Vrai

$x > 6$ Faux

Étape 4.6.1.2.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 \leq x \leq 6$

Étape 4.6.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $y$ qui rendent l’expression définie.

$[0, 6]$

Étape 4.6.2

Déterminez l’intersection de $y < 0$ et $[0, 6]$ .

$Aucune solution$

Étape 4.7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} y \leq \sqrt{x (- x + 6)} & 0 \leq y \leq 6 \end{cases}$

Étape 5

Déterminez l’intersection de $y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$ et $0 \leq y \leq 6$ .

$0 \leq y \leq N o (Min i m u m)$

Étape 6

Déterminez l’union des solutions.

$0 \leq y \leq i N o Min m^{2} u$

Étape 7