Algèbre Exemples

$x + 3 = \sqrt{- 20 + 12 x + 3}$

Étape 1

Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\sqrt{- 20 + 12 x + 3} = x + 3$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{- 20 + 12 x + 3}}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- 20 + 12 x + 3}$ comme ${(- 20 + 12 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 20 + 12 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(- 20 + 12 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(- 20 + 12 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 20 + 12 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 3)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(- 20 + 12 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 3)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(- 20 + 12 x + 3)}^{1} = {(x + 3)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Additionnez $- 20$ et $3$ .

${(12 x - 17)}^{1} = {(x + 3)}^{2}$

Étape 3.2.1.3

Simplifiez

$12 x - 17 = {(x + 3)}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(x + 3)}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(x + 3)}^{2}$ comme $(x + 3) (x + 3)$ .

$12 x - 17 = (x + 3) (x + 3)$

Étape 3.3.1.2

Développez $(x + 3) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$12 x - 17 = x (x + 3) + 3 (x + 3)$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$12 x - 17 = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$12 x - 17 = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$12 x - 17 = x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

Étape 3.3.1.3.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$12 x - 17 = x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$12 x - 17 = x^{2} + 3 x + 3 x + 9$

Étape 3.3.1.3.2

Additionnez $3 x$ et $3 x$ .

$12 x - 17 = x^{2} + 6 x + 9$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} + 6 x + 9 = 12 x - 17$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $12 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 6 x + 9 - 12 x = - 17$

Étape 4.2.2

Soustrayez $12 x$ de $6 x$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = - 17$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 4.3.1

Ajoutez $17$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 6 x + 9 + 17 = 0$

Étape 4.3.2

Additionnez $9$ et $17$ .

$x^{2} - 6 x + 26 = 0$

Étape 4.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 6$ et $c = 26$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 26)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6

Simplifiez

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Étape 4.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 26$ .

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Étape 4.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $26$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 104}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.3

Soustrayez $104$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 68}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.4

Réécrivez $- 68$ comme $- 1 (68)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 68}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (68)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{68}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{68}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{68}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.7

Réécrivez $68$ comme $2^{2} \cdot 17$ .

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Étape 4.6.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $68$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4 (17)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm i \cdot (2 \sqrt{17})}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 2 i \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 i \sqrt{17}}{2}$

Étape 4.6.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 i \sqrt{17}}{2}$ .

$x = 3 \pm i \sqrt{17}$

Étape 4.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 3 + i \sqrt{17}, 3 - i \sqrt{17}$