Algèbre Exemples

$\frac{1}{x - 4} - \frac{3}{x + 2} = \frac{6}{x^{2} - 2 x - 8}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{6}{x^{2} - 2 x - 8}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x - 4} - \frac{3}{x + 2} - \frac{6}{x^{2} - 2 x - 8} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{1}{x - 4} - \frac{3}{x + 2} - \frac{6}{x^{2} - 2 x - 8}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2} - 2 x - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 4, 2$

Étape 2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{1}{x - 4} - \frac{3}{x + 2} - \frac{6}{(x - 4) (x + 2)} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{1}{x - 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{1}{x - 4} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{3}{x + 2} - \frac{6}{(x - 4) (x + 2)} = 0$

Étape 2.3

Pour écrire $- \frac{3}{x + 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{1}{x - 4} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{3}{x + 2} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{6}{(x - 4) (x + 2)} = 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 4) (x + 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{1}{x - 4}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x + 2}{(x - 4) (x + 2)} - \frac{3}{x + 2} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{6}{(x - 4) (x + 2)} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{3}{x + 2}$ par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x + 2}{(x - 4) (x + 2)} - \frac{3 (x - 4)}{(x + 2) (x - 4)} - \frac{6}{(x - 4) (x + 2)} = 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 4) (x + 2)$ .

$\frac{x + 2}{(x + 2) (x - 4)} - \frac{3 (x - 4)}{(x + 2) (x - 4)} - \frac{6}{(x - 4) (x + 2)} = 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + 2 - 3 (x - 4)}{(x + 2) (x - 4)} - \frac{6}{(x - 4) (x + 2)} = 0$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + 2 - 3 (x - 4) - 6}{(x + 2) (x - 4)} = 0$

Étape 2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 2 - 3 x - 3 \cdot - 4 - 6}{(x + 2) (x - 4)} = 0$

Étape 2.7.2

Multipliez $- 3$ par $- 4$ .

$\frac{x + 2 - 3 x + 12 - 6}{(x + 2) (x - 4)} = 0$

Étape 2.8

Soustrayez $3 x$ de $x$ .

$\frac{- 2 x + 2 + 12 - 6}{(x + 2) (x - 4)} = 0$

Étape 2.9

Additionnez $2$ et $12$ .

$\frac{- 2 x + 14 - 6}{(x + 2) (x - 4)} = 0$

Étape 2.10

Soustrayez $6$ de $14$ .

$\frac{- 2 x + 8}{(x + 2) (x - 4)} = 0$

Étape 2.11

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x + 8$ .

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Étape 2.11.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 8}{(x + 2) (x - 4)} = 0$

Étape 2.11.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (4)}{(x + 2) (x - 4)} = 0$

Étape 2.11.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- x + 4)}{(x + 2) (x - 4)} = 0$

Étape 2.12

Annulez le facteur commun à $- x + 4$ et $x - 4$ .

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Étape 2.12.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 4)}{(x + 2) (x - 4)} = 0$

Étape 2.12.2

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 4))}{(x + 2) (x - 4)} = 0$

Étape 2.12.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x - 4))}{(x + 2) (x - 4)} = 0$

Étape 2.12.4

Réécrivez $- (x - 4)$ comme $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 4))}{(x + 2) (x - 4)} = 0$

Étape 2.12.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 1 (x - 4))}{(x + 2) (x - 4)} = 0$

Étape 2.12.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x + 2} = 0$

Étape 2.13

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2}{x + 2} = 0$

Étape 2.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x + 2} = 0$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{x + 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 2 = 0$

Étape 4

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 5