Algèbre Exemples

$\frac{6 y^{2} + 18 y - 60}{3 y^{2} - 12 y} \cdot \frac{y^{2} - 16}{y^{2} + 2 y - 8}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 y^{2} + 18 y - 60$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 y^{2}$ .

$\frac{6 (y^{2}) + 18 y - 60}{3 y^{2} - 12 y} \cdot \frac{y^{2} - 16}{y^{2} + 2 y - 8}$

Étape 1.1.2

Factorisez $6$ à partir de $18 y$ .

$\frac{6 (y^{2}) + 6 (3 y) - 60}{3 y^{2} - 12 y} \cdot \frac{y^{2} - 16}{y^{2} + 2 y - 8}$

Étape 1.1.3

Factorisez $6$ à partir de $- 60$ .

$\frac{6 y^{2} + 6 (3 y) + 6 \cdot - 10}{3 y^{2} - 12 y} \cdot \frac{y^{2} - 16}{y^{2} + 2 y - 8}$

Étape 1.1.4

Factorisez $6$ à partir de $6 y^{2} + 6 (3 y)$ .

$\frac{6 (y^{2} + 3 y) + 6 \cdot - 10}{3 y^{2} - 12 y} \cdot \frac{y^{2} - 16}{y^{2} + 2 y - 8}$

Étape 1.1.5

Factorisez $6$ à partir de $6 (y^{2} + 3 y) + 6 \cdot - 10$ .

$\frac{6 (y^{2} + 3 y - 10)}{3 y^{2} - 12 y} \cdot \frac{y^{2} - 16}{y^{2} + 2 y - 8}$

Étape 1.2

Factorisez $y^{2} + 3 y - 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 10$ et dont la somme est $3$ .

$- 2, 5$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{6 ((y - 2) (y + 5))}{3 y^{2} - 12 y} \cdot \frac{y^{2} - 16}{y^{2} + 2 y - 8}$

$\frac{6 (y - 2) (y + 5)}{3 y^{2} - 12 y} \cdot \frac{y^{2} - 16}{y^{2} + 2 y - 8}$

Étape 2

Factorisez $3 y$ à partir de $3 y^{2} - 12 y$ .

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Étape 2.1

Factorisez $3 y$ à partir de $3 y^{2}$ .

$\frac{6 (y - 2) (y + 5)}{3 y (y) - 12 y} \cdot \frac{y^{2} - 16}{y^{2} + 2 y - 8}$

Étape 2.2

Factorisez $3 y$ à partir de $- 12 y$ .

$\frac{6 (y - 2) (y + 5)}{3 y (y) + 3 y (- 4)} \cdot \frac{y^{2} - 16}{y^{2} + 2 y - 8}$

Étape 2.3

Factorisez $3 y$ à partir de $3 y (y) + 3 y (- 4)$ .

$\frac{6 (y - 2) (y + 5)}{3 y (y - 4)} \cdot \frac{y^{2} - 16}{y^{2} + 2 y - 8}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{6 (y - 2) (y + 5)}{3 y (y - 4)} \cdot \frac{y^{2} - 4^{2}}{y^{2} + 2 y - 8}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 4$ .

$\frac{6 (y - 2) (y + 5)}{3 y (y - 4)} \cdot \frac{(y + 4) (y - 4)}{y^{2} + 2 y - 8}$

Étape 4

Factorisez $y^{2} + 2 y - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $2$ .

$- 2, 4$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{6 (y - 2) (y + 5)}{3 y (y - 4)} \cdot \frac{(y + 4) (y - 4)}{(y - 2) (y + 4)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $y - 2$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $y - 2$ à partir de $6 (y - 2) (y + 5)$ .

$\frac{(y - 2) (6 (y + 5))}{3 y (y - 4)} \cdot \frac{(y + 4) (y - 4)}{(y - 2) (y + 4)}$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y - 2) (6 (y + 5))}{3 y (y - 4)} \cdot \frac{(y + 4) (y - 4)}{(y - 2) (y + 4)}$

Étape 5.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 (y + 5)}{3 y (y - 4)} \cdot \frac{(y + 4) (y - 4)}{y + 4}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $y - 4$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y - 4$ à partir de $3 y (y - 4)$ .

$\frac{6 (y + 5)}{(y - 4) (3 y)} \cdot \frac{(y + 4) (y - 4)}{y + 4}$

Étape 5.2.2

Factorisez $y - 4$ à partir de $(y + 4) (y - 4)$ .

$\frac{6 (y + 5)}{(y - 4) (3 y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 4)}{y + 4}$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (y + 5)}{(y - 4) (3 y)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 4)}{y + 4}$

Étape 5.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 (y + 5)}{3 y} \cdot \frac{y + 4}{y + 4}$

Étape 5.3

Multipliez $\frac{6 (y + 5)}{3 y}$ par $\frac{y + 4}{y + 4}$ .

$\frac{6 (y + 5) (y + 4)}{3 y (y + 4)}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $3$ à partir de $6 (y + 5) (y + 4)$ .

$\frac{3 (2 (y + 5) (y + 4))}{3 y (y + 4)}$

Étape 5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y (y + 4)$ .

$\frac{3 (2 (y + 5) (y + 4))}{3 (y (y + 4))}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (2 (y + 5) (y + 4))}{3 (y (y + 4))}$

Étape 5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (y + 5) (y + 4)}{y (y + 4)}$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun de $y + 4$ .

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Étape 5.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (y + 5) (y + 4)}{y (y + 4)}$

Étape 5.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (y + 5)}{y}$