Algèbre Exemples

$x^{4} + 3 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x^{2} - 48 x + 64$

Étape 1

Regroupez les termes.

$x^{4} + 3 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x^{2} - 48 x + 64$

Étape 2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} + 3 x^{3} - 4 x^{2}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} + 3 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x^{2} - 48 x + 64$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{3}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (3 x) - 4 x^{2} - 16 x^{2} - 48 x + 64$

Étape 2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 4 - 16 x^{2} - 48 x + 64$

Étape 2.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} (3 x)$ .

$x^{2} (x^{2} + 3 x) + x^{2} \cdot - 4 - 16 x^{2} - 48 x + 64$

Étape 2.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x^{2} + 3 x) + x^{2} \cdot - 4$ .

$x^{2} (x^{2} + 3 x - 4) - 16 x^{2} - 48 x + 64$

Étape 3

Factorisez.

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Étape 3.1

Factorisez $x^{2} + 3 x - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $3$ .

$- 1, 4$

Étape 3.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x^{2} ((x - 1) (x + 4)) - 16 x^{2} - 48 x + 64$

Étape 3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} (x - 1) (x + 4) - 16 x^{2} - 48 x + 64$

Étape 4

Factorisez $16$ à partir de $- 16 x^{2} - 48 x + 64$ .

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Étape 4.1

Factorisez $16$ à partir de $- 16 x^{2}$ .

$x^{2} (x - 1) (x + 4) + 16 (- x^{2}) - 48 x + 64$

Étape 4.2

Factorisez $16$ à partir de $- 48 x$ .

$x^{2} (x - 1) (x + 4) + 16 (- x^{2}) + 16 (- 3 x) + 64$

Étape 4.3

Factorisez $16$ à partir de $64$ .

$x^{2} (x - 1) (x + 4) + 16 (- x^{2}) + 16 (- 3 x) + 16 (4)$

Étape 4.4

Factorisez $16$ à partir de $16 (- x^{2}) + 16 (- 3 x)$ .

$x^{2} (x - 1) (x + 4) + 16 (- x^{2} - 3 x) + 16 (4)$

Étape 4.5

Factorisez $16$ à partir de $16 (- x^{2} - 3 x) + 16 (4)$ .

$x^{2} (x - 1) (x + 4) + 16 (- x^{2} - 3 x + 4)$

Étape 5

Factorisez.

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Étape 5.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 4 = - 4$ et dont la somme est $b = - 3$ .

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Étape 5.1.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x$ .

$x^{2} (x - 1) (x + 4) + 16 (- x^{2} - 3 (x) + 4)$

Étape 5.1.1.2

Réécrivez $- 3$ comme $1$ plus $- 4$

$x^{2} (x - 1) (x + 4) + 16 (- x^{2} + (1 - 4) x + 4)$

Étape 5.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (x - 1) (x + 4) + 16 (- x^{2} + 1 x - 4 x + 4)$

Étape 5.1.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} (x - 1) (x + 4) + 16 (- x^{2} + x - 4 x + 4)$

Étape 5.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x^{2} (x - 1) (x + 4) + 16 ((- x^{2} + x) - 4 x + 4)$

Étape 5.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{2} (x - 1) (x + 4) + 16 (x (- x + 1) + 4 (- x + 1))$

Étape 5.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 1$ .

$x^{2} (x - 1) (x + 4) + 16 ((- x + 1) (x + 4))$

Étape 5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} (x - 1) (x + 4) + 16 (- x + 1) (x + 4)$

Étape 6

Factorisez $x + 4$ à partir de $x^{2} (x - 1) (x + 4) + 16 (- x + 1) (x + 4)$ .

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Étape 6.1

Factorisez $x + 4$ à partir de $x^{2} (x - 1) (x + 4)$ .

$(x + 4) (x^{2} (x - 1)) + 16 (- x + 1) (x + 4)$

Étape 6.2

Factorisez $x + 4$ à partir de $16 (- x + 1) (x + 4)$ .

$(x + 4) (x^{2} (x - 1)) + (x + 4) (16 (- x + 1))$

Étape 6.3

Factorisez $x + 4$ à partir de $(x + 4) (x^{2} (x - 1)) + (x + 4) (16 (- x + 1))$ .

$(x + 4) (x^{2} (x - 1) + 16 (- x + 1))$

Étape 7

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 4) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 16 (- x + 1))$

Étape 8

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 8.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x + 4) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 + 16 (- x + 1))$

Étape 8.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x + 4) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + 16 (- x + 1))$

Étape 8.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$(x + 4) (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 16 (- x + 1))$

Étape 9

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2}$ .

$(x + 4) (x^{3} - 1 x^{2} + 16 (- x + 1))$

Étape 10

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$(x + 4) (x^{3} - x^{2} + 16 (- x + 1))$

Étape 11

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 4) (x^{3} - x^{2} + 16 (- x) + 16 \cdot 1)$

Étape 12

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$(x + 4) (x^{3} - x^{2} - 16 x + 16 \cdot 1)$

Étape 13

Multipliez $16$ par $1$ .

$(x + 4) (x^{3} - x^{2} - 16 x + 16)$

Étape 14

Factorisez.

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Étape 14.1

Réécrivez $x^{3} - x^{2} - 16 x + 16$ en forme factorisée.

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Étape 14.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 14.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 4) ((x^{3} - x^{2}) - 16 x + 16)$

Étape 14.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 4) (x^{2} (x - 1) - 16 (x - 1))$

Étape 14.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 1$ .

$(x + 4) ((x - 1) (x^{2} - 16))$

Étape 14.1.3

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$(x + 4) ((x - 1) (x^{2} - 4^{2}))$

Étape 14.1.4

Factorisez.

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Étape 14.1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$(x + 4) ((x - 1) ((x + 4) (x - 4)))$

Étape 14.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 4) ((x - 1) (x + 4) (x - 4))$

Étape 14.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 4) (x - 1) (x + 4) (x - 4)$

Étape 15

Associez les exposants.

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Étape 15.1

Élevez $x + 4$ à la puissance $1$ .

${(x + 4)}^{1} (x + 4) (x - 1) (x - 4)$

Étape 15.2

Élevez $x + 4$ à la puissance $1$ .

${(x + 4)}^{1} {(x + 4)}^{1} (x - 1) (x - 4)$

Étape 15.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x + 4)}^{1 + 1} (x - 1) (x - 4)$

Étape 15.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${(x + 4)}^{2} (x - 1) (x - 4)$