Algèbre Exemples

$\tan (\frac{π}{12}) = \cot (x - \frac{π}{36})$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\cot (x - \frac{π}{36}) = \tan (\frac{π}{12})$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \tan (\frac{π}{12})$

Étape 2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{12})$ est $2 - \sqrt{3}$ .

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Étape 2.1

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \tan (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Étape 2.2

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{\tan (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Étape 2.3

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{1 - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Étape 2.4

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Étape 2.5

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (\frac{π}{6})}$

Étape 2.6

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Étape 2.7

Simplifiez $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

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Étape 2.7.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $3$ .

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Étape 2.7.1.1

Multipliez $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Étape 2.7.1.2

Associez.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Étape 2.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Étape 2.7.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.7.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ dans le numérateur.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Étape 2.7.3.2

Annulez le facteur commun.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Étape 2.7.3.3

Réécrivez l’expression.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Étape 2.7.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Étape 2.7.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.7.5.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Étape 2.7.5.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.7.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Étape 2.7.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Étape 2.7.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

Étape 2.7.6

Multipliez $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ par $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$

Étape 2.7.7

Multipliez $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ par $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}$

Étape 2.7.8

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.7.9

Simplifiez

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Étape 2.7.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.10.1

Élevez $3 - \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Étape 2.7.10.2

Élevez $3 - \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Étape 2.7.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Étape 2.7.10.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Étape 2.7.11

Réécrivez ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ comme $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Étape 2.7.12

Développez $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.7.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Étape 2.7.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Étape 2.7.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Étape 2.7.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.7.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.13.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Étape 2.7.13.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Étape 2.7.13.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Étape 2.7.13.1.4

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 2.7.13.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Étape 2.7.13.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Étape 2.7.13.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6}$

Étape 2.7.13.1.4.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6}$

Étape 2.7.13.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6}$

Étape 2.7.13.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6}$

Étape 2.7.13.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.7.13.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Étape 2.7.13.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Étape 2.7.13.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Étape 2.7.13.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.7.13.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Étape 2.7.13.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6}$

Étape 2.7.13.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Étape 2.7.13.2

Additionnez $9$ et $3$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6}$

Étape 2.7.13.3

Soustrayez $3 \sqrt{3}$ de $- 3 \sqrt{3}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Étape 2.7.14

Annulez le facteur commun à $12 - 6 \sqrt{3}$ et $6$ .

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Étape 2.7.14.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Étape 2.7.14.2

Factorisez $6$ à partir de $- 6 \sqrt{3}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6}$

Étape 2.7.14.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6}$

Étape 2.7.14.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.7.14.4.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)}$

Étape 2.7.14.4.2

Annulez le facteur commun.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Étape 2.7.14.4.3

Réécrivez l’expression.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

Étape 2.7.14.4.4

Divisez $2 - \sqrt{3}$ par $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = 2 - \sqrt{3}$

Étape 3

Convertissez le côté droit de l’équation en son équivalent décimal.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = 0.26794919$

Étape 4

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x - \frac{π}{36} = arccot (0.26794919)$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

Évaluez $arccot (0.26794919)$ .

$x - \frac{π}{36} = \frac{5 π}{12}$

Étape 6

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1

Ajoutez $\frac{π}{36}$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \frac{5 π}{12} + \frac{π}{36}$

Étape 6.2

Pour écrire $\frac{5 π}{12}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{12} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{36}$

Étape 6.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $36$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{5 π}{12}$ par $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{5 π \cdot 3}{12 \cdot 3} + \frac{π}{36}$

Étape 6.3.2

Multipliez $12$ par $3$ .

$x = \frac{5 π \cdot 3}{36} + \frac{π}{36}$

Étape 6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{5 π \cdot 3 + π}{36}$

Étape 6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$x = \frac{15 π + π}{36}$

Étape 6.5.2

Additionnez $15 π$ et $π$ .

$x = \frac{16 π}{36}$

Étape 6.6

Annulez le facteur commun à $16$ et $36$ .

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Étape 6.6.1

Factorisez $4$ à partir de $16 π$ .

$x = \frac{4 (4 π)}{36}$

Étape 6.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$x = \frac{4 (4 π)}{4 (9)}$

Étape 6.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{4 (4 π)}{4 \cdot 9}$

Étape 6.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{4 π}{9}$

Étape 7

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x - \frac{π}{36} = π + \frac{5 π}{12}$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Simplifiez $π + \frac{5 π}{12}$ .

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Étape 8.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12}{12}$ .

$x - \frac{π}{36} = π \cdot \frac{12}{12} + \frac{5 π}{12}$

Étape 8.1.2

Associez les fractions.

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Étape 8.1.2.1

Associez $π$ et $\frac{12}{12}$ .

$x - \frac{π}{36} = \frac{π \cdot 12}{12} + \frac{5 π}{12}$

Étape 8.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x - \frac{π}{36} = \frac{π \cdot 12 + 5 π}{12}$

Étape 8.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.3.1

Déplacez $12$ à gauche de $π$ .

$x - \frac{π}{36} = \frac{12 \cdot π + 5 π}{12}$

Étape 8.1.3.2

Additionnez $12 π$ et $5 π$ .

$x - \frac{π}{36} = \frac{17 π}{12}$

Étape 8.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 8.2.1

Ajoutez $\frac{π}{36}$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \frac{17 π}{12} + \frac{π}{36}$

Étape 8.2.2

Pour écrire $\frac{17 π}{12}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{17 π}{12} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{36}$

Étape 8.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $36$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.2.3.1

Multipliez $\frac{17 π}{12}$ par $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{17 π \cdot 3}{12 \cdot 3} + \frac{π}{36}$

Étape 8.2.3.2

Multipliez $12$ par $3$ .

$x = \frac{17 π \cdot 3}{36} + \frac{π}{36}$

Étape 8.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{17 π \cdot 3 + π}{36}$

Étape 8.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.5.1

Multipliez $3$ par $17$ .

$x = \frac{51 π + π}{36}$

Étape 8.2.5.2

Additionnez $51 π$ et $π$ .

$x = \frac{52 π}{36}$

Étape 8.2.6

Annulez le facteur commun à $52$ et $36$ .

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Étape 8.2.6.1

Factorisez $4$ à partir de $52 π$ .

$x = \frac{4 (13 π)}{36}$

Étape 8.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$x = \frac{4 (13 π)}{4 (9)}$

Étape 8.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{4 (13 π)}{4 \cdot 9}$

Étape 8.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{13 π}{9}$

Étape 9

Déterminez la période de $\cot (x - \frac{π}{36})$ .

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Étape 9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 9.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 9.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 9.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 10

La période de la fonction $\cot (x - \frac{π}{36})$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{4 π}{9} + π n, \frac{13 π}{9} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Consolidez les réponses.

$x = \frac{4 π}{9} + π n$ , pour tout entier $n$