Algèbre Exemples

$f (x) = x^{4} + 9 x^{3} + 15 x^{2} + 9 x + 14$

Étape 1

Regroupez les termes.

$f (x) = 9 x^{3} + 9 x + x^{4} + 15 x^{2} + 14$

Étape 2

Factorisez $9 x$ à partir de $9 x^{3} + 9 x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $9 x$ à partir de $9 x^{3}$ .

$f (x) = 9 x (x^{2}) + 9 x + x^{4} + 15 x^{2} + 14$

Étape 2.2

Factorisez $9 x$ à partir de $9 x$ .

$f (x) = 9 x (x^{2}) + 9 x (1) + x^{4} + 15 x^{2} + 14$

Étape 2.3

Factorisez $9 x$ à partir de $9 x (x^{2}) + 9 x (1)$ .

$f (x) = 9 x (x^{2} + 1) + x^{4} + 15 x^{2} + 14$

Étape 3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = 9 x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} + 15 x^{2} + 14$

Étape 4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$f (x) = 9 x (x^{2} + 1) + u^{2} + 15 u + 14$

Étape 5

Factorisez $u^{2} + 15 u + 14$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $14$ et dont la somme est $15$ .

$1, 14$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f (x) = 9 x (x^{2} + 1) + (u + 1) (u + 14)$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f (x) = 9 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 14)$

Étape 7

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $9 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 14)$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $9 x (x^{2} + 1)$ .

$f (x) = (x^{2} + 1) (9 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 14)$

Étape 7.2

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $(x^{2} + 1) (9 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 14)$ .

$f (x) = (x^{2} + 1) (9 x + x^{2} + 14)$

Étape 8

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$f (x) = (x^{2} + 1) (9 u + u^{2} + 14)$

Étape 9

Factorisez $9 u + u^{2} + 14$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $14$ et dont la somme est $9$ .

$2, 7$

Étape 9.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f (x) = (x^{2} + 1) ((u + 2) (u + 7))$

Étape 10

Factorisez.

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Étape 10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$f (x) = (x^{2} + 1) ((x + 2) (x + 7))$

Étape 10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = (x^{2} + 1) (x + 2) (x + 7)$