Algèbre Exemples

$- 3 x^{2} + 3 x + 4 \leq - 2$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- 3 x^{2} + 3 x + 4 = - 2$

Étape 2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 x^{2} + 3 x + 4 + 2 = 0$

Étape 3

Additionnez $4$ et $2$ .

$- 3 x^{2} + 3 x + 6 = 0$

Étape 4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x^{2} + 3 x + 6$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 3 x + 6 = 0$

Étape 4.1.2

Factorisez $- 3$ à partir de $3 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- x) + 6 = 0$

Étape 4.1.3

Factorisez $- 3$ à partir de $6$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- x) - 3 \cdot - 2 = 0$

Étape 4.1.4

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 (x^{2}) - 3 (- x)$ .

$- 3 (x^{2} - x) - 3 \cdot - 2 = 0$

Étape 4.1.5

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 (x^{2} - x) - 3 (- 2)$ .

$- 3 (x^{2} - x - 2) = 0$

Étape 4.2

Factorisez.

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Étape 4.2.1

Factorisez $x^{2} - x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 4.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 3 ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Étape 4.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 3 (x - 2) (x + 1) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 6

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 7

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 7.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 3 (x - 2) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 2, - 1$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 2$

$x > 2$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$- 3 {(- 4)}^{2} + 3 (- 4) + 4 \leq - 2$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $- 56$ est inférieur au côté droit $- 2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$- 3 {(0)}^{2} + 3 (0) + 4 \leq - 2$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $4$ est supérieur au côté droit $- 2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$- 3 {(4)}^{2} + 3 (4) + 4 \leq - 2$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $- 32$ est inférieur au côté droit $- 2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 1$ ou $x \geq 2$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x \leq - 1 or x \geq 2$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1] \cup [2, \infty)$

Étape 13