Algèbre Exemples

$x^{2} - 2 < \frac{7}{2} x$

Étape 1

Simplifiez $\frac{7}{2} x$ .

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Étape 1.1

Réécrivez.

$x^{2} - 2 < 0 + 0 + \frac{7}{2} x$

Étape 1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$x^{2} - 2 < \frac{7}{2} x$

Étape 1.3

Associez $\frac{7}{2}$ et $x$ .

$x^{2} - 2 < \frac{7 x}{2}$

Étape 2

Soustrayez $\frac{7 x}{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} - 2 - \frac{7 x}{2} < 0$

Étape 3

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $2$ , puis simplifiez.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 2 \cdot - 2 + 2 (- \frac{7 x}{2}) < 0$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$2 x^{2} - 4 + 2 (- \frac{7 x}{2}) < 0$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7 x}{2}$ dans le numérateur.

$2 x^{2} - 4 + 2 (\frac{- 7 x}{2}) < 0$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} - 4 + 2 (\frac{- 7 x}{2}) < 0$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{2} - 4 - 7 x < 0$

Étape 3.3

Déplacez $- 4$ .

$2 x^{2} - 7 x - 4 < 0$

Étape 4

Convertissez l’inégalité en une équation.

$2 x^{2} - 7 x - 4 = 0$

Étape 5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 7$ et $c = - 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 4)}}{2 \cdot 2}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 4$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 4$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.1.3

Additionnez $49$ et $32$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.1.4

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{9^{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{7 \pm 9}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{7 \pm 9}{4}$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = 4, - \frac{1}{2}$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 4$

$x > 4$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 3)}^{2} - 2 < \frac{7}{2} \cdot (- 3)$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $7$ n’est pas inférieur au côté droit $- 10.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1}{2} < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1}{2} < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} - 2 < \frac{7}{2} \cdot (0)$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $- 2$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

${(6)}^{2} - 2 < \frac{7}{2} \cdot (6)$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $34$ n’est pas inférieur au côté droit $21$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{1}{2}$ Faux

$- \frac{1}{2} < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < - \frac{1}{2}$ Faux

$- \frac{1}{2} < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \frac{1}{2} < x < 4$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- \frac{1}{2} < x < 4$

Notation d’intervalle :

$(- \frac{1}{2}, 4)$

Étape 13