Algèbre Exemples

$\frac{2 + \sqrt{- 8}}{1 + \sqrt{- 2}}$

Étape 1

Extrayez l’unité imaginaire $i$ .

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Étape 1.1

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$\frac{2 + \sqrt{- 1 (8)}}{1 + \sqrt{- 2}}$

Étape 1.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$\frac{2 + \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{1 + \sqrt{- 2}}$

Étape 1.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + \sqrt{- 2}}$

Étape 1.4

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + \sqrt{- 1 (2)}}$

Étape 1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}}$

Étape 1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + i \cdot \sqrt{2}}$

Étape 2

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + 1.41421356 \cdot i}$ par le conjugué de $1 + 1.41421356 \cdot i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + 1.41421356 \cdot i} \cdot \frac{1 - 1.41421356 i}{1 - 1.41421356 i}$

Étape 3

Multipliez.

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Étape 3.1

Associez.

$\frac{(2 + i \cdot \sqrt{8}) (1 - 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{(2 + i \cdot \sqrt{4 (2)}) (1 - 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{(2 + i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}) (1 - 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Étape 3.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{(2 + i \cdot (2 \sqrt{2})) (1 - 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Étape 3.2.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$\frac{(2 + 2 i \sqrt{2}) (1 - 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Étape 3.2.2

Développez $(2 + 2 i \sqrt{2}) (1 - 1.41421356 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (1 - 1.41421356 i) + 2 i \sqrt{2} (1 - 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Étape 3.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- 1.41421356 i) + 2 i \sqrt{2} (1 - 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Étape 3.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- 1.41421356 i) + 2 i \sqrt{2} \cdot 1 + 2 i \sqrt{2} (- 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Étape 3.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 + 2 (- 1.41421356 i) + 2 i \sqrt{2} \cdot 1 + 2 i \sqrt{2} (- 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Étape 3.2.3.1.2

Multipliez $- 1.41421356$ par $2$ .

$\frac{2 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2} \cdot 1 + 2 i \sqrt{2} (- 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Étape 3.2.3.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} (- 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Étape 3.2.3.1.4

Multipliez $2 i \sqrt{2} (- 1.41421356 i)$ .

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Étape 3.2.3.1.4.1

Multipliez $- 1.41421356$ par $2$ .

$\frac{2 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2} - 2.82842712 i \sqrt{2} i}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Étape 3.2.3.1.4.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $- 2.82842712$ .

$\frac{2 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2} - 4 i i}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Étape 3.2.3.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2} - 4 (i^{1} i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Étape 3.2.3.1.4.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2} - 4 (i^{1} i^{1})}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Étape 3.2.3.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2} - 4 i^{1 + 1}}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Étape 3.2.3.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2} - 4 i^{2}}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Étape 3.2.3.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{2 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2} - 4 \cdot - 1}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Étape 3.2.3.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{2 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2} + 4}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Étape 3.2.3.2

Additionnez $2$ et $4$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Étape 3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1

Développez $(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 (1 - 1.41421356 i) + 1.41421356 \cdot i (1 - 1.41421356 i)}$

Étape 3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 \cdot 1 + 1 (- 1.41421356 i) + 1.41421356 \cdot i (1 - 1.41421356 i)}$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 \cdot 1 + 1 (- 1.41421356 i) + 1.41421356 \cdot i \cdot 1 + 1.41421356 \cdot i (- 1.41421356 i)}$

Étape 3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 + 1 (- 1.41421356 i) + 1.41421356 \cdot i \cdot 1 + 1.41421356 \cdot i (- 1.41421356 i)}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $- 1.41421356$ par $1$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1.41421356 i + 1.41421356 \cdot i \cdot 1 + 1.41421356 \cdot i (- 1.41421356 i)}$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $1.41421356$ par $1$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1.41421356 i + 1.41421356 \cdot i + 1.41421356 \cdot i (- 1.41421356 i)}$

Étape 3.3.2.4

Multipliez $- 1.41421356$ par $1.41421356$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1.41421356 i + 1.41421356 \cdot i - 2 \cdot i i}$

Étape 3.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1.41421356 i + 1.41421356 \cdot i - 2 \cdot (i^{1} i)}$

Étape 3.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1.41421356 i + 1.41421356 \cdot i - 2 \cdot (i^{1} i^{1})}$

Étape 3.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1.41421356 i + 1.41421356 \cdot i - 2 \cdot i^{1 + 1}}$

Étape 3.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1.41421356 i + 1.41421356 \cdot i - 2 \cdot i^{2}}$

Étape 3.3.2.9

Additionnez $- 1.41421356 i$ et $1.41421356 \cdot i$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 + 0 i - 2 \cdot i^{2}}$

Étape 3.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $0$ par $i$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 + 0 - 2 \cdot i^{2}}$

Étape 3.3.3.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 + 0 - 2 \cdot - 1}$

Étape 3.3.3.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 + 0 + 2}$

Étape 3.3.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 + 2}$

Étape 3.3.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{3}$

Étape 4

Réécrivez $6$ comme $1 (6)$ .

$\frac{1 (6) - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{3}$

Étape 5

Factorisez $1$ à partir de $- 2.82842712 i$ .

$\frac{1 (6) + 1 (- 2.82842712 i) + 2 i \sqrt{2}}{3}$

Étape 6

Factorisez $1$ à partir de $1 (6) + 1 (- 2.82842712 i)$ .

$\frac{1 (6 - 2.82842712 i) + 2 i \sqrt{2}}{3}$

Étape 7

Factorisez $1$ à partir de $2 i \sqrt{2}$ .

$\frac{1 (6 - 2.82842712 i) + 1 (2 i \sqrt{2})}{3}$

Étape 8

Factorisez $1$ à partir de $1 (6 - 2.82842712 i) + 1 (2 i \sqrt{2})$ .

$\frac{1 (6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2})}{3}$

Étape 9

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{1 (6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2})}{3 (1)}$

Étape 10

Séparez les fractions.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1}$

Étape 11

Divisez $1$ par $3$ .

$0.33333333 \frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1}$

Étape 12

Divisez $6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}$ par $1$ .

$0.33333333 (6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2})$

Étape 13

Appliquez la propriété distributive.

$0.33333333 \cdot 6 + 0.33333333 (- 2.82842712 i) + 0.33333333 (2 i \sqrt{2})$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Multipliez $0.33333333$ par $6$ .

$2 + 0.33333333 (- 2.82842712 i) + 0.33333333 (2 i \sqrt{2})$

Étape 14.2

Multipliez $- 2.82842712$ par $0.33333333$ .

$2 - 0.94280904 i + 0.33333333 (2 i \sqrt{2})$

Étape 14.3

Multipliez $0.33333333 (2 i \sqrt{2})$ .

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Étape 14.3.1

Multipliez $2$ par $0.33333333$ .

$2 - 0.94280904 i + 0.66666666 (i \sqrt{2})$

Étape 14.3.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $0.66666666$ .

$2 - 0.94280904 i + 0.94280904 i$

Étape 15

Additionnez $- 0.94280904 i$ et $0.94280904 i$ .

$2 + 0 i$

Étape 16

Multipliez $0$ par $i$ .

$2 + 0$

Étape 17

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$