Algèbre Exemples

$x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + 5 x - 6$

Étape 1

Regroupez les termes.

$- 5 x^{3} + 5 x^{2} + x^{4} + 5 x - 6$

Étape 2

Factorisez $- 5 x^{2}$ à partir de $- 5 x^{3} + 5 x^{2}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $- 5 x^{2}$ à partir de $- 5 x^{3}$ .

$- 5 x^{2} (x) + 5 x^{2} + x^{4} + 5 x - 6$

Étape 2.2

Factorisez $- 5 x^{2}$ à partir de $5 x^{2}$ .

$- 5 x^{2} (x) - 5 x^{2} (- 1) + x^{4} + 5 x - 6$

Étape 2.3

Factorisez $- 5 x^{2}$ à partir de $- 5 x^{2} (x) - 5 x^{2} (- 1)$ .

$- 5 x^{2} (x - 1) + x^{4} + 5 x - 6$

Étape 3

Factorisez $x^{4} + 5 x - 6$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 3.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Étape 3.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Étape 3.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 3.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$1^{4} + 5 \cdot 1 - 6$

Étape 3.3.2

Élevez $1$ à la puissance $4$ .

$1 + 5 \cdot 1 - 6$

Étape 3.3.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$1 + 5 - 6$

Étape 3.3.4

Additionnez $1$ et $5$ .

$6 - 6$

Étape 3.3.5

Soustrayez $6$ de $6$ .

$0$

Étape 3.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} + 5 x - 6}{x - 1}$

Étape 3.5

Divisez $x^{4} + 5 x - 6$ par $x - 1$ .

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Étape 3.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

Étape 3.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

Étape 3.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

Étape 3.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{4} - x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

Étape 3.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

Étape 3.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 3.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 3.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Étape 3.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Étape 3.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Étape 3.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

Étape 3.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

Étape 3.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

Étape 3.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} - x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

Étape 3.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

$6 x$

Étape 3.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

$6 x$

$6$

Étape 3.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $6 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$6$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

$6 x$

$6$

Étape 3.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$6$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

$6 x$

$6$

$6 x$

$6$

Étape 3.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $6 x - 6$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$6$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

$6 x$

$6$

$6 x$

$6$

Étape 3.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$6$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

$6 x$

$6$

$6 x$

$6$

$0$

Étape 3.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{3} + x^{2} + x + 6$

Étape 3.6

Écrivez $x^{4} + 5 x - 6$ comme un ensemble de facteurs.

$- 5 x^{2} (x - 1) + (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 6)$

Étape 4

Factorisez $x^{3} + x^{2} + x + 6$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 4.1

Factorisez $x^{3} + x^{2} + x + 6$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 4.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Étape 4.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Étape 4.1.3

Remplacez $- 2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 2$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1.3.1

Remplacez $- 2$ dans le polynôme.

${(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 2 + 6$

Étape 4.1.3.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- 8 + {(- 2)}^{2} - 2 + 6$

Étape 4.1.3.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- 8 + 4 - 2 + 6$

Étape 4.1.3.4

Additionnez $- 8$ et $4$ .

$- 4 - 2 + 6$

Étape 4.1.3.5

Soustrayez $2$ de $- 4$ .

$- 6 + 6$

Étape 4.1.3.6

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$0$

Étape 4.1.4

Comme $- 2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + x^{2} + x + 6}{x + 2}$

Étape 4.1.5

Divisez $x^{3} + x^{2} + x + 6$ par $x + 2$ .

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Étape 4.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$6$

Étape 4.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$

Étape 4.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 4.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 4.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Étape 4.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Étape 4.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Étape 4.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

Étape 4.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{2} - 2 x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Étape 4.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$

Étape 4.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	+	$6$

Étape 4.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	+	$6$

Étape 4.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	+	$6$
							+	$3 x$	+	$6$

Étape 4.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x + 6$

				$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	+	$6$
							-	$3 x$	-	$6$

Étape 4.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	+	$6$
							-	$3 x$	-	$6$
										$0$

Étape 4.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - x + 3$

Étape 4.1.6

Écrivez $x^{3} + x^{2} + x + 6$ comme un ensemble de facteurs.

$- 5 x^{2} (x - 1) + (x - 1) ((x + 2) (x^{2} - x + 3))$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 5 x^{2} (x - 1) + (x - 1) (x + 2) (x^{2} - x + 3)$

Étape 5

Factorisez $x - 1$ à partir de $- 5 x^{2} (x - 1) + (x - 1) (x + 2) (x^{2} - x + 3)$ .

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Étape 5.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $- 5 x^{2} (x - 1)$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2}) + (x - 1) (x + 2) (x^{2} - x + 3)$

Étape 5.2

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x - 1) (x + 2) (x^{2} - x + 3)$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2}) + (x - 1) ((x + 2) (x^{2} - x + 3))$

Étape 5.3

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x - 1) (- 5 x^{2}) + (x - 1) ((x + 2) (x^{2} - x + 3))$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + (x + 2) (x^{2} - x + 3))$

Étape 6

Développez $(x + 2) (x^{2} - x + 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 7.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{1} x^{2} + x (- x) + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Étape 7.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{1 + 2} + x (- x) + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Étape 7.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} + x (- x) + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Étape 7.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} - x \cdot x + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Étape 7.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.3.1

Déplacez $x$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} - (x \cdot x) + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Étape 7.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} - x^{2} + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Étape 7.4

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} - x^{2} + 3 x + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Étape 7.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} - x^{2} + 3 x + 2 x^{2} - 2 x + 2 \cdot 3)$

Étape 7.6

Multipliez $2$ par $3$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} - x^{2} + 3 x + 2 x^{2} - 2 x + 6)$

Étape 8

Additionnez $- x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} + x^{2} + 3 x - 2 x + 6)$

Étape 9

Soustrayez $2 x$ de $3 x$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} + x^{2} + x + 6)$

Étape 10

Additionnez $- 5 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{3} - 4 x^{2} + x + 6)$

Étape 11

Factorisez.

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Étape 11.1

Réécrivez $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ en forme factorisée.

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Étape 11.1.1

Factorisez $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 11.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Étape 11.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Étape 11.1.1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 11.1.1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

${(- 1)}^{3} - 4 {(- 1)}^{2} - 1 + 6$

Étape 11.1.1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 - 4 {(- 1)}^{2} - 1 + 6$

Étape 11.1.1.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 1 - 4 \cdot 1 - 1 + 6$

Étape 11.1.1.3.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 1 - 4 - 1 + 6$

Étape 11.1.1.3.5

Soustrayez $4$ de $- 1$ .

$- 5 - 1 + 6$

Étape 11.1.1.3.6

Soustrayez $1$ de $- 5$ .

$- 6 + 6$

Étape 11.1.1.3.7

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$0$

Étape 11.1.1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6}{x + 1}$

Étape 11.1.1.5

Divisez $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ par $x + 1$ .

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Étape 11.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$6$

Étape 11.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$

Étape 11.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 11.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 11.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Étape 11.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$

Étape 11.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 5 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$

Étape 11.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Étape 11.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 5 x^{2} - 5 x$

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Étape 11.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$

Étape 11.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$

Étape 11.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $6 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$

Étape 11.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

Étape 11.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $6 x + 6$

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

Étape 11.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$
							-	$6 x$	-	$6$
										$0$

Étape 11.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 5 x + 6$

Étape 11.1.1.6

Écrivez $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 1) ((x + 1) (x^{2} - 5 x + 6))$

Étape 11.1.2

Factorisez $x^{2} - 5 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 11.1.2.1

Factorisez $x^{2} - 5 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 11.1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 3, - 2$

Étape 11.1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 1) ((x + 1) ((x - 3) (x - 2)))$

Étape 11.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 1) ((x + 1) (x - 3) (x - 2))$

Étape 11.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 1) (x + 1) (x - 3) (x - 2)$