Algèbre Exemples

$\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} (\cos^{2} (θ) - 1)$

Étape 1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1

Factorisez $1$ à partir de $\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (\cos^{2} (θ) - 1)$ .

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Étape 1.1.1

Multipliez par $1$ .

$1 \tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (\cos^{2} (θ) - 1)$

Étape 1.1.2

Factorisez $1$ à partir de $\frac{1}{25} \cdot (\cos^{2} (θ) - 1)$ .

$1 \tan^{2} (θ) + 1 (\frac{1}{25} \cdot (\cos^{2} (θ) - 1))$

Étape 1.1.3

Factorisez $1$ à partir de $1 \tan^{2} (θ) + 1 (\frac{1}{25} \cdot (\cos^{2} (θ) - 1))$ .

$1 (\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (\cos^{2} (θ) - 1))$

Étape 1.2

Remettez dans l’ordre $\cos^{2} (θ)$ et $- 1$ .

$1 (\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (- 1 + \cos^{2} (θ)))$

Étape 1.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$1 (\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (- 1 (1) + \cos^{2} (θ)))$

Étape 1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\cos^{2} (θ)$ .

$1 (\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (θ))))$

Étape 1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (θ))$ .

$1 (\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (- 1 (1 - \cos^{2} (θ))))$

Étape 1.6

Réécrivez $- 1 (1 - \cos^{2} (θ))$ comme $- (1 - \cos^{2} (θ))$ .

$1 (\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (- (1 - \cos^{2} (θ))))$

Étape 2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 (\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (- \sin^{2} (θ)))$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Multipliez $\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (- \sin^{2} (θ))$ par $1$ .

$\tan^{2} (θ) + \frac{1}{25} \cdot (- \sin^{2} (θ))$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $\tan (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

${(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} + \frac{1}{25} \cdot (- \sin^{2} (θ))$

Étape 3.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \frac{1}{25} \cdot (- \sin^{2} (θ))$

Étape 3.2.3

Associez $\frac{1}{25}$ et $\sin^{2} (θ)$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\sin^{2} (θ)}{25}$

Étape 4

Réécrivez $\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ comme ${(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2}$ .

${(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} - \frac{\sin^{2} (θ)}{25}$

Étape 5

Réécrivez $\frac{\sin^{2} (θ)}{25}$ comme ${(\frac{\sin (θ)}{5})}^{2}$ .

${(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} - {(\frac{\sin (θ)}{5})}^{2}$

Étape 6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ et $b = \frac{\sin (θ)}{5}$ .

$(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\sin (θ)}{5}) (\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} - \frac{\sin (θ)}{5})$

Étape 7

Convertissez de $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ à $\tan (θ)$ .

$(\tan (θ) + \frac{\sin (θ)}{5}) (\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} - \frac{\sin (θ)}{5})$

Étape 8

Convertissez de $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ à $\tan (θ)$ .

$(\tan (θ) + \frac{\sin (θ)}{5}) (\tan (θ) - \frac{\sin (θ)}{5})$

Étape 9

Développez $(\tan (θ) + \frac{\sin (θ)}{5}) (\tan (θ) - \frac{\sin (θ)}{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\tan (θ) (\tan (θ) - \frac{\sin (θ)}{5}) + \frac{\sin (θ)}{5} (\tan (θ) - \frac{\sin (θ)}{5})$

Étape 9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\tan (θ) \tan (θ) + \tan (θ) (- \frac{\sin (θ)}{5}) + \frac{\sin (θ)}{5} (\tan (θ) - \frac{\sin (θ)}{5})$

Étape 9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\tan (θ) \tan (θ) + \tan (θ) (- \frac{\sin (θ)}{5}) + \frac{\sin (θ)}{5} \tan (θ) + \frac{\sin (θ)}{5} (- \frac{\sin (θ)}{5})$

Étape 10

Simplifiez les termes.

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Étape 10.1

Associez les termes opposés dans $\tan (θ) \tan (θ) + \tan (θ) (- \frac{\sin (θ)}{5}) + \frac{\sin (θ)}{5} \tan (θ) + \frac{\sin (θ)}{5} (- \frac{\sin (θ)}{5})$ .

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Étape 10.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\tan (θ) (- \frac{\sin (θ)}{5})$ et $\frac{\sin (θ)}{5} \tan (θ)$ .

$\tan (θ) \tan (θ) - \tan (θ) \frac{\sin (θ)}{5} + \tan (θ) \frac{\sin (θ)}{5} + \frac{\sin (θ)}{5} (- \frac{\sin (θ)}{5})$

Étape 10.1.2

Additionnez $- \tan (θ) \frac{\sin (θ)}{5}$ et $\tan (θ) \frac{\sin (θ)}{5}$ .

$\tan (θ) \tan (θ) + 0 + \frac{\sin (θ)}{5} (- \frac{\sin (θ)}{5})$

Étape 10.1.3

Additionnez $\tan (θ) \tan (θ)$ et $0$ .

$\tan (θ) \tan (θ) + \frac{\sin (θ)}{5} (- \frac{\sin (θ)}{5})$

Étape 10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1

Multipliez $\tan (θ) \tan (θ)$ .

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Étape 10.2.1.1

Élevez $\tan (θ)$ à la puissance $1$ .

$\tan^{1} (θ) \tan (θ) + \frac{\sin (θ)}{5} (- \frac{\sin (θ)}{5})$

Étape 10.2.1.2

Élevez $\tan (θ)$ à la puissance $1$ .

$\tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) + \frac{\sin (θ)}{5} (- \frac{\sin (θ)}{5})$

Étape 10.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\tan (θ)}^{1 + 1} + \frac{\sin (θ)}{5} (- \frac{\sin (θ)}{5})$

Étape 10.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan^{2} (θ) + \frac{\sin (θ)}{5} (- \frac{\sin (θ)}{5})$

Étape 10.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\tan^{2} (θ) - \frac{\sin (θ)}{5} \cdot \frac{\sin (θ)}{5}$

Étape 10.2.3

Multipliez $- \frac{\sin (θ)}{5} \cdot \frac{\sin (θ)}{5}$ .

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Étape 10.2.3.1

Multipliez $\frac{\sin (θ)}{5}$ par $\frac{\sin (θ)}{5}$ .

$\tan^{2} (θ) - \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{5 \cdot 5}$

Étape 10.2.3.2

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\tan^{2} (θ) - \frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{5 \cdot 5}$

Étape 10.2.3.3

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\tan^{2} (θ) - \frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{5 \cdot 5}$

Étape 10.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan^{2} (θ) - \frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{5 \cdot 5}$

Étape 10.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan^{2} (θ) - \frac{\sin^{2} (θ)}{5 \cdot 5}$

Étape 10.2.3.6

Multipliez $5$ par $5$ .

$\tan^{2} (θ) - \frac{\sin^{2} (θ)}{25}$