Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{40} - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{10}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $40$ comme $2^{2} \cdot 10$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $40$ .

$\frac{\sqrt{4 (10)} - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{10}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 10} - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{10}}$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{10}}$

Étape 2

Multipliez $\frac{2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Étape 3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{5}) \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Étape 3.2

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{5}) \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Étape 3.3

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{5}) \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{5}) \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{5}) \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Étape 3.6

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{5}) \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{5}) \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{5}) \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{5}) \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{5}) \sqrt{10}}{10^{1}}$

Étape 3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{(2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{5}) \sqrt{10}}{10}$

Étape 4

Annulez le facteur commun à $2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{5}$ et $10$ .

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Étape 4.1

Factorisez $2$ à partir de $(2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{5}) \sqrt{10}$ .

$\frac{2 ((\sqrt{10} - \sqrt{5}) \sqrt{10})}{10}$

Étape 4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{2 ((\sqrt{10} - \sqrt{5}) \sqrt{10})}{2 (5)}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 ((\sqrt{10} - \sqrt{5}) \sqrt{10})}{2 \cdot 5}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(\sqrt{10} - \sqrt{5}) \sqrt{10}}{5}$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{10} \sqrt{10} - \sqrt{5} \sqrt{10}}{5}$

Étape 6

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{10 \cdot 10} - \sqrt{5} \sqrt{10}}{5}$

Étape 7

Multipliez $- \sqrt{5} \sqrt{10}$ .

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Étape 7.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{10 \cdot 10} - \sqrt{10 \cdot 5}}{5}$

Étape 7.2

Multipliez $10$ par $5$ .

$\frac{\sqrt{10 \cdot 10} - \sqrt{50}}{5}$

Étape 8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1

Multipliez $10$ par $10$ .

$\frac{\sqrt{100} - \sqrt{50}}{5}$

Étape 8.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$\frac{\sqrt{10^{2}} - \sqrt{50}}{5}$

Étape 8.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{10 - \sqrt{50}}{5}$

Étape 8.4

Réécrivez $50$ comme $5^{2} \cdot 2$ .

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Étape 8.4.1

Factorisez $25$ à partir de $50$ .

$\frac{10 - \sqrt{25 (2)}}{5}$

Étape 8.4.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{10 - \sqrt{5^{2} \cdot 2}}{5}$

Étape 8.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{10 - (5 \sqrt{2})}{5}$

Étape 8.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{10 - 5 \sqrt{2}}{5}$

Étape 9

Annulez le facteur commun à $10 - 5 \sqrt{2}$ et $5$ .

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Étape 9.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{5 \cdot 2 - 5 \sqrt{2}}{5}$

Étape 9.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5 \sqrt{2}$ .

$\frac{5 \cdot 2 + 5 (- \sqrt{2})}{5}$

Étape 9.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (2) + 5 (- \sqrt{2})$ .

$\frac{5 (2 - \sqrt{2})}{5}$

Étape 9.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 (2 - \sqrt{2})}{5 (1)}$

Étape 9.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (2 - \sqrt{2})}{5 \cdot 1}$

Étape 9.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{1}$

Étape 9.4.4

Divisez $2 - \sqrt{2}$ par $1$ .

$2 - \sqrt{2}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 - \sqrt{2}$

Forme décimale :

$0.58578643 \dots$