Algèbre Exemples

$f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$ comme une équation.

$y = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt[3]{1 - y^{3}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt[3]{1 - y^{3}} = x$ .

$\sqrt[3]{1 - y^{3}} = x$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{1 - y^{3}}}^{3} = x^{3}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{1 - y^{3}}$ comme ${(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(1 - y^{3})}^{1} = x^{3}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$1 - y^{3} = x^{3}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{3} = x^{3} - 1$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $- y^{3} = x^{3} - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- y^{3} = x^{3} - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{x^{3}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{x^{3}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.2.2.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = \frac{x^{3}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{x^{3}}{- 1}$ .

$y^{3} = - 1 \cdot x^{3} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.2.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot x^{3}$ comme $- x^{3}$ .

$y^{3} = - x^{3} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.2.3.1.3

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$y^{3} = - x^{3} + 1$

Étape 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{- x^{3} + 1}$

Étape 3.4.4

Simplifiez $\sqrt[3]{- x^{3} + 1}$ .

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Étape 3.4.4.1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.4.4.1.1

Réécrivez $- x^{3}$ comme ${(- x)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{(- x)}^{3} + 1}$

Étape 3.4.4.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{(- x)}^{3} + 1^{3}}$

Étape 3.4.4.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = - x$ et $b = 1$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) ({(- x)}^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez

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Étape 3.4.4.3.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) ({(- 1)}^{2} x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

Étape 3.4.4.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (1 x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

Étape 3.4.4.3.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

Étape 3.4.4.3.4

Multipliez $- - x$ .

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Étape 3.4.4.3.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + 1 x \cdot 1 + 1^{2})}$

Étape 3.4.4.3.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

Étape 3.4.4.3.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

Étape 3.4.4.3.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) + 1) ({(\sqrt[3]{1 - x^{3}})}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Étape 5.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.3.1

Supprimez les parenthèses.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) + 1) ({(\sqrt[3]{1 - x^{3}})}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Étape 5.2.3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{1^{3} - x^{3}} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Étape 5.2.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Étape 5.2.5

Simplifiez

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Étape 5.2.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Étape 5.2.5.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Étape 5.2.6

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1^{3} - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Étape 5.2.7

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Étape 5.2.8

Simplifiez

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Étape 5.2.8.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Étape 5.2.8.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Étape 5.2.9

Réécrivez ${\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{2}} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Étape 5.2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.10.1

Appliquez la règle de produit à $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Étape 5.2.10.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{1^{3} - x^{3}} + 1)}$

Étape 5.2.11

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})} + 1)}$

Étape 5.2.12

Simplifiez

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Étape 5.2.12.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})} + 1)}$

Étape 5.2.12.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1)}$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{1 - {(\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)})}^{3}}$

Étape 5.3.3

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{1^{3} - {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{3}}$

Étape 5.3.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ .

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1^{2} + 1 \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2})}$

Étape 5.3.5

Simplifiez

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Étape 5.3.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + 1 \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2})}$

Étape 5.3.5.2

Multipliez $\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ par $1$ .

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2})}$

Étape 5.3.5.3

Réécrivez ${\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}^{2}}$ .

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + \sqrt[3]{{((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}^{2}})}$

Étape 5.3.5.4

Appliquez la règle de produit à $(- x + 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + \sqrt[3]{{(- x + 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}})}$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$