Algèbre Exemples

$y = \frac{1}{2} {(x + 4)}^{2} - 8$

Étape 1

La fonction parent est la forme la plus simple du type de fonction donné.

$y = x^{2}$

Étape 2

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot {(x + 4)}^{2} - 8$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez ${(x + 4)}^{2}$ comme $(x + 4) (x + 4)$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot ((x + 4) (x + 4)) - 8$

Étape 2.1.2

Développez $(x + 4) (x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x (x + 4) + 4 (x + 4)) - 8$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) - 8$

Étape 2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) - 8$

Étape 2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) - 8$

Étape 2.1.3.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) - 8$

Étape 2.1.3.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 4 x + 4 x + 16) - 8$

Étape 2.1.3.2

Additionnez $4 x$ et $4 x$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 8 x + 16) - 8$

Étape 2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} (8 x) + \frac{1}{2} \cdot 16 - 8$

Étape 2.1.5

Simplifiez

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Étape 2.1.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (8 x) + \frac{1}{2} \cdot 16 - 8$

Étape 2.1.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (4 x)) + \frac{1}{2} \cdot 16 - 8$

Étape 2.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (4 x)) + \frac{1}{2} \cdot 16 - 8$

Étape 2.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + \frac{1}{2} \cdot 16 - 8$

Étape 2.1.5.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.5.3.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + \frac{1}{2} \cdot (2 (8)) - 8$

Étape 2.1.5.3.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 8) - 8$

Étape 2.1.5.3.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 8 - 8$

Étape 2.2

Associez les termes opposés dans $\frac{x^{2}}{2} + 4 x + 8 - 8$ .

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Étape 2.2.1

Soustrayez $8$ de $8$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 0$

Étape 2.2.2

Additionnez $\frac{x^{2}}{2} + 4 x$ et $0$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 4 x$

Étape 3

Supposez que $y = x^{2}$ est $f (x) = x^{2}$ et que $y = \frac{1}{2} \cdot {(x + 4)}^{2} - 8$ est $g (x) = \frac{x^{2}}{2} + 4 x$ .

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = \frac{x^{2}}{2} + 4 x$

Étape 4

La transformation décrite est de $f (x) = x^{2}$ à $g (x) = \frac{x^{2}}{2} + 4 x$ .

$f (x) = x^{2} \to g (x) = \frac{x^{2}}{2} + 4 x$

Étape 5

Le décalage horizontal dépend de la valeur de $h$ . Le décalage horizontal est décrit comme :

$g (x) = f (x + h)$ - Le graphe est décalé de $h$ unités vers la gauche.

$g (x) = f (x - h)$ - Le graphe est décalé de $h$ unités vers la droite.

Décalage horizontal : Unités $4$ de gauche

Étape 6

Le décalage vertical dépend de la valeur de $k$ . Le décalage vertical est décrit comme :

$g (x) = f (x) + k$ - Le graphe est décalé de $k$ unités vers le haut.

$g (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

Décalage vertical : $8$ unités vers le bas

Étape 7

Le graphe est reflété autour de l’abscisse quand $g (x) = - f (x)$ .

Réflexion par rapport à l’abscisse : Aucune

Étape 8

Le graphe est reflété autour de l’ordonnée quand $g (x) = f (- x)$ .

Réflexion par rapport à l’ordonnée : Aucune

Étape 9

La compression et le développement dépendent de la valeur de $a$ .

Quand $a$ est supérieur à $1$ : Étiré verticalement

Où $a$ est compris entre $0$ et $1$ : Comprimé verticalement

Compression verticale ou étirement : Comprimé

Étape 10

Comparez et énumérez les transformées.

Fonction parent : $y = x^{2}$

Décalage horizontal : Unités $4$ de gauche

Décalage vertical : $8$ unités vers le bas

Réflexion par rapport à l’abscisse : Aucune

Réflexion par rapport à l’ordonnée : Aucune

Compression verticale ou étirement : Comprimé

Étape 11