Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{3 x^{2} + 2 x - 8}{4 - x^{2}}$

Étape 1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f (x) = \frac{3 x^{2} + 2 (x) - 8}{4 - x^{2}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $2$ comme $- 4$ plus $6$

$f (x) = \frac{3 x^{2} + (- 4 + 6) x - 8}{4 - x^{2}}$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 4 x + 6 x - 8}{4 - x^{2}}$

Étape 1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f (x) = \frac{(3 x^{2} - 4 x) + 6 x - 8}{4 - x^{2}}$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f (x) = \frac{x (3 x - 4) + 2 (3 x - 4)}{4 - x^{2}}$

Étape 1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 4$ .

$f (x) = \frac{(3 x - 4) (x + 2)}{4 - x^{2}}$

Étape 2

Factorisez $4 - x^{2}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (x) = \frac{(3 x - 4) (x + 2)}{2^{2} - x^{2}}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = x$ .

$f (x) = \frac{(3 x - 4) (x + 2)}{(2 + x) (2 - x)}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $x + 2$ et $2 + x$ .

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Étape 3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x) = \frac{(3 x - 4) (x + 2)}{(x + 2) (2 - x)}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun.

$f (x) = \frac{(3 x - 4) (x + 2)}{(x + 2) (2 - x)}$

Étape 3.3

Réécrivez l’expression.

$f (x) = \frac{3 x - 4}{2 - x}$

Étape 4

Pour déterminer les trous dans le graphe, regardez les facteurs du dénominateur qui ont été annulés.

$2 + x$

Étape 5

Pour déterminer les coordonnées des trous, définissez chaque facteur qui a été annulé égal à $0$ , résolvez et remplacez à nouveau par $\frac{3 x - 4}{2 - x}$ .

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Étape 5.1

Définissez $2 + x$ égal à $0$ .

$2 + x = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 5.3

Remplacez $x$ par $- 2$ dans $\frac{3 x - 4}{2 - x}$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Remplacez $x$ par $- 2$ pour déterminer la coordonnée $y$ du trou.

$\frac{3 \cdot - 2 - 4}{2 - - 2}$

Étape 5.3.2

Simplifiez

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $3 \cdot - 2 - 4$ et $2 - - 2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 \cdot - 2 - 4}{2 - 2 \cdot - 1}$

Étape 5.3.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $3 \cdot - 2$ .

$\frac{2 (3 \cdot - 1) - 4}{2 - 2 \cdot - 1}$

Étape 5.3.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{2 (3 \cdot - 1) + 2 (- 2)}{2 - 2 \cdot - 1}$

Étape 5.3.2.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 \cdot - 1) + 2 (- 2)$ .

$\frac{2 (3 \cdot - 1 - 2)}{2 - 2 \cdot - 1}$

Étape 5.3.2.1.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (3 \cdot - 1 - 2)}{2 (1) - 2 \cdot - 1}$

Étape 5.3.2.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cdot - 1$ .

$\frac{2 (3 \cdot - 1 - 2)}{2 (1) + 2 (- - 1)}$

Étape 5.3.2.1.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- - 1)$ .

$\frac{2 (3 \cdot - 1 - 2)}{2 (1 - - 1)}$

Étape 5.3.2.1.5.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 \cdot - 1 - 2)}{2 (1 - - 1)}$

Étape 5.3.2.1.5.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \cdot - 1 - 2}{1 - - 1}$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.2.2.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{- 3 - 2}{1 - - 1}$

Étape 5.3.2.2.2

Soustrayez $2$ de $- 3$ .

$\frac{- 5}{1 - - 1}$

Étape 5.3.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 5}{1 + 1}$

Étape 5.3.2.3.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 5}{2}$

Étape 5.3.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{2}$

Étape 5.4

Les trous dans le graphe sont les points où tout facteur annulé est égal à $0$ .

$(- 2, - \frac{5}{2})$

Étape 6