Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{8} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{12}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{12}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{12}}$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{12}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{4 (3)}}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{2^{2} \cdot 3}}$

Étape 2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + 2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}$

Étape 4

Associez les fractions.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}$ .

$\frac{(2 \sqrt{2} - \sqrt{3}) (\sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + 2 \sqrt{3}) (\sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}$

Étape 4.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(2 \sqrt{2} - \sqrt{3}) (\sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}{{\sqrt{2}}^{2} - 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{6} - 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez

$\frac{(2 \sqrt{2} - \sqrt{3}) (\sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}{- 10}$

Étape 5

Développez $(2 \sqrt{2} - \sqrt{3}) (\sqrt{2} - 2 \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sqrt{2} (\sqrt{2} - 2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} (\sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}{- 10}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} (\sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}{- 10}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{2} - \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}{- 10}$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Multipliez $2 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Étape 6.1.1.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{2} - \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}{- 10}$

Étape 6.1.1.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{2} - \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}{- 10}$

Étape 6.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{2} - \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}{- 10}$

Étape 6.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 {\sqrt{2}}^{2} + 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{2} - \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}{- 10}$

Étape 6.1.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{2} - \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}{- 10}$

Étape 6.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{2} - \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}{- 10}$

Étape 6.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{2} - \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}{- 10}$

Étape 6.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{2} - \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}{- 10}$

Étape 6.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot 2^{1} + 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{2} - \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}{- 10}$

Étape 6.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{2} - \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}{- 10}$

Étape 6.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{2} - \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}{- 10}$

Étape 6.1.4

Multipliez $2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{3})$ .

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Étape 6.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{4 - 4 \sqrt{2} \sqrt{3} - \sqrt{3} \sqrt{2} - \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}{- 10}$

Étape 6.1.4.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{4 - 4 \sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3} \sqrt{2} - \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}{- 10}$

Étape 6.1.4.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{4 - 4 \sqrt{6} - \sqrt{3} \sqrt{2} - \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}{- 10}$

Étape 6.1.5

Multipliez $- \sqrt{3} \sqrt{2}$ .

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Étape 6.1.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{4 - 4 \sqrt{6} - \sqrt{2 \cdot 3} - \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}{- 10}$

Étape 6.1.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{4 - 4 \sqrt{6} - \sqrt{6} - \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}{- 10}$

Étape 6.1.6

Multipliez $- \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})$ .

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Étape 6.1.6.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{4 - 4 \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2 \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 10}$

Étape 6.1.6.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 - 4 \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{- 10}$

Étape 6.1.6.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 - 4 \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{- 10}$

Étape 6.1.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 - 4 \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{- 10}$

Étape 6.1.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 - 4 \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2 {\sqrt{3}}^{2}}{- 10}$

Étape 6.1.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 6.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 - 4 \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 10}$

Étape 6.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 - 4 \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 10}$

Étape 6.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{4 - 4 \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{- 10}$

Étape 6.1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 - 4 \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{- 10}$

Étape 6.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 - 4 \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2 \cdot 3^{1}}{- 10}$

Étape 6.1.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{4 - 4 \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2 \cdot 3}{- 10}$

Étape 6.1.8

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{4 - 4 \sqrt{6} - \sqrt{6} + 6}{- 10}$

Étape 6.2

Additionnez $4$ et $6$ .

$\frac{10 - 4 \sqrt{6} - \sqrt{6}}{- 10}$

Étape 6.3

Soustrayez $\sqrt{6}$ de $- 4 \sqrt{6}$ .

$\frac{10 - 5 \sqrt{6}}{- 10}$

Étape 7

Annulez le facteur commun à $10 - 5 \sqrt{6}$ et $- 10$ .

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Étape 7.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{5 (2) - 5 \sqrt{6}}{- 10}$

Étape 7.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5 \sqrt{6}$ .

$\frac{5 (2) + 5 (- \sqrt{6})}{- 10}$

Étape 7.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (2) + 5 (- \sqrt{6})$ .

$\frac{5 (2 - \sqrt{6})}{- 10}$

Étape 7.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.1

Factorisez $5$ à partir de $- 10$ .

$\frac{5 (2 - \sqrt{6})}{5 \cdot - 2}$

Étape 7.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (2 - \sqrt{6})}{5 \cdot - 2}$

Étape 7.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 - \sqrt{6}}{- 2}$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 - \sqrt{6}}{2}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{2 - \sqrt{6}}{2}$

Forme décimale :

$0.22474487 \dots$