Algèbre Exemples

$x^{2} = 12 {(y + \frac{5}{2})}^{2}$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Soustrayez $12 {(y + \frac{5}{2})}^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 12 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 0$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Réécrivez ${(y + \frac{5}{2})}^{2}$ comme $(y + \frac{5}{2}) (y + \frac{5}{2})$ .

$x^{2} - 12 ((y + \frac{5}{2}) (y + \frac{5}{2})) = 0$

Étape 1.2.2

Développez $(y + \frac{5}{2}) (y + \frac{5}{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 12 (y (y + \frac{5}{2}) + \frac{5}{2} (y + \frac{5}{2})) = 0$

Étape 1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 12 (y \cdot y + y \frac{5}{2} + \frac{5}{2} (y + \frac{5}{2})) = 0$

Étape 1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 12 (y \cdot y + y \frac{5}{2} + \frac{5}{2} y + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2}) = 0$

Étape 1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$x^{2} - 12 (y^{2} + y \frac{5}{2} + \frac{5}{2} y + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2}) = 0$

Étape 1.2.3.1.2

Associez $y$ et $\frac{5}{2}$ .

$x^{2} - 12 (y^{2} + \frac{y \cdot 5}{2} + \frac{5}{2} y + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2}) = 0$

Étape 1.2.3.1.3

Déplacez $5$ à gauche de $y$ .

$x^{2} - 12 (y^{2} + \frac{5 \cdot y}{2} + \frac{5}{2} y + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2}) = 0$

Étape 1.2.3.1.4

Associez $\frac{5}{2}$ et $y$ .

$x^{2} - 12 (y^{2} + \frac{5 y}{2} + \frac{5 y}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2}) = 0$

Étape 1.2.3.1.5

Multipliez $\frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.5.1

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $\frac{5}{2}$ .

$x^{2} - 12 (y^{2} + \frac{5 y}{2} + \frac{5 y}{2} + \frac{5 \cdot 5}{2 \cdot 2}) = 0$

Étape 1.2.3.1.5.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$x^{2} - 12 (y^{2} + \frac{5 y}{2} + \frac{5 y}{2} + \frac{25}{2 \cdot 2}) = 0$

Étape 1.2.3.1.5.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$x^{2} - 12 (y^{2} + \frac{5 y}{2} + \frac{5 y}{2} + \frac{25}{4}) = 0$

Étape 1.2.3.2

Additionnez $\frac{5 y}{2}$ et $\frac{5 y}{2}$ .

$x^{2} - 12 (y^{2} + 2 \frac{5 y}{2} + \frac{25}{4}) = 0$

Étape 1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} - 12 (y^{2} + 2 \frac{5 y}{2} + \frac{25}{4}) = 0$

Étape 1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - 12 (y^{2} + 5 y + \frac{25}{4}) = 0$

Étape 1.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 12 y^{2} - 12 (5 y) - 12 (\frac{25}{4}) = 0$

Étape 1.2.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.1

Multipliez $5$ par $- 12$ .

$x^{2} - 12 y^{2} - 60 y - 12 (\frac{25}{4}) = 0$

Étape 1.2.6.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$x^{2} - 12 y^{2} - 60 y + 4 (- 3) \frac{25}{4} = 0$

Étape 1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} - 12 y^{2} - 60 y + 4 \cdot - 3 \frac{25}{4} = 0$

Étape 1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - 12 y^{2} - 60 y - 3 \cdot 25 = 0$

Étape 1.2.6.3

Multipliez $- 3$ par $25$ .

$x^{2} - 12 y^{2} - 60 y - 75 = 0$

Étape 2

Ajoutez $75$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 12 y^{2} - 60 y = 75$

Étape 3

Complétez le carré pour $- 12 y^{2} - 60 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 12$

$b = - 60$

$c = 0$

Étape 3.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 3.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 60}{2 \cdot - 12}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 60$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 60$ .

$d = \frac{2 \cdot - 30}{2 \cdot - 12}$

Étape 3.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 30}{2 (- 12)}$

Étape 3.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 30}{2 \cdot - 12}$

Étape 3.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 30}{- 12}$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 30$ et $- 12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1

Factorisez $- 6$ à partir de $- 30$ .

$d = \frac{- 6 (5)}{- 12}$

Étape 3.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.2.1

Factorisez $- 6$ à partir de $- 12$ .

$d = \frac{- 6 \cdot 5}{- 6 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 6 \cdot 5}{- 6 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{5}{2}$

Étape 3.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 60)}^{2}}{4 \cdot - 12}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1

Élevez $- 60$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{3600}{4 \cdot - 12}$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 12$ .

$e = 0 - \frac{3600}{- 48}$

Étape 3.4.2.1.3

Divisez $3600$ par $- 48$ .

$e = 0 - - 75$

Étape 3.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 75$ .

$e = 0 + 75$

Étape 3.4.2.2

Additionnez $0$ et $75$ .

$e = 75$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 12 {(y + \frac{5}{2})}^{2} + 75$ .

$- 12 {(y + \frac{5}{2})}^{2} + 75$

Étape 4

Remplacez $- 12 y^{2} - 60 y$ par $- 12 {(y + \frac{5}{2})}^{2} + 75$ dans l’équation $x^{2} - 12 y^{2} - 60 y = 75$ .

$x^{2} - 12 {(y + \frac{5}{2})}^{2} + 75 = 75$

Étape 5

Déplacez $75$ du côté droit de l’équation en ajoutant $75$ des deux côtés.

$x^{2} - 12 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 75 - 75$

Étape 6

Soustrayez $75$ de $75$ .

$x^{2} - 12 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 0$

Étape 7

Divisez chaque terme par $0$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{x^{2}}{0} - \frac{12 {(y + \frac{5}{2})}^{2}}{0} = \frac{0}{0}$

Étape 8

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$x^{2} - {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 1$