Algèbre Exemples

$(\sqrt{2} + \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{2})$

Étape 1

Développez $(\sqrt{2} + \sqrt{3}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2} (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \sqrt{3} (\sqrt{3} - \sqrt{2})$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2} \sqrt{3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{3} (\sqrt{3} - \sqrt{2})$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2} \sqrt{3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{2})$

Étape 2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{2 \cdot 3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{2})$

Étape 2.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{2})$

Étape 2.1.3

Multipliez $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 2.1.3.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{6} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{2})$

Étape 2.1.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{6} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{2})$

Étape 2.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{6} - {\sqrt{2}}^{1 + 1} + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{2})$

Étape 2.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{6} - {\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{2})$

Étape 2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{6} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{2})$

Étape 2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{6} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{2})$

Étape 2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{6} - 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{2})$

Étape 2.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{6} - 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{2})$

Étape 2.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{6} - 2^{1} + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{2})$

Étape 2.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{6} - 1 \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{2})$

Étape 2.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\sqrt{6} - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{2})$

Étape 2.1.6

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{6} - 2 + \sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} (- \sqrt{2})$

Étape 2.1.7

Multipliez $3$ par $3$ .

$\sqrt{6} - 2 + \sqrt{9} + \sqrt{3} (- \sqrt{2})$

Étape 2.1.8

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\sqrt{6} - 2 + \sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} (- \sqrt{2})$

Étape 2.1.9

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sqrt{6} - 2 + 3 + \sqrt{3} (- \sqrt{2})$

Étape 2.1.10

Multipliez $\sqrt{3} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 2.1.10.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{6} - 2 + 3 - \sqrt{3 \cdot 2}$

Étape 2.1.10.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\sqrt{6} - 2 + 3 - \sqrt{6}$

Étape 2.2

Soustrayez $\sqrt{6}$ de $\sqrt{6}$ .

$0 - 2 + 3$

Étape 2.3

Soustrayez $2$ de $0$ .

$- 2 + 3$

Étape 2.4

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$1$