Algèbre Exemples

$y = 4 \sqrt{x + 3}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 4 \sqrt{y + 3}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $4 \sqrt{y + 3} = x$ .

$4 \sqrt{y + 3} = x$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $4 \sqrt{y + 3} = x$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 \sqrt{y + 3} = x$ par $4$ .

$\frac{4 \sqrt{y + 3}}{4} = \frac{x}{4}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sqrt{y + 3}}{4} = \frac{x}{4}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $\sqrt{y + 3}$ par $1$ .

$\sqrt{y + 3} = \frac{x}{4}$

Étape 2.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y + 3}}^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Étape 2.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y + 3}$ comme ${(y + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Étape 2.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Étape 2.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y + 3)}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Étape 2.4.2.1.2

Simplifiez

$y + 3 = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Simplifiez ${(\frac{x}{4})}^{2}$ .

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Étape 2.4.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{4}$ .

$y + 3 = \frac{x^{2}}{4^{2}}$

Étape 2.4.3.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y + 3 = \frac{x^{2}}{16}$

Étape 2.5

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$y = \frac{x^{2}}{16} - 3$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{16} - 3$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{16} - 3$ est l’inverse de $f (x) = 4 \sqrt{x + 3}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{{(4 \sqrt{x + 3})}^{2}}{16} - 3$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 \sqrt{x + 3}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{4^{2} {\sqrt{x + 3}}^{2}}{16} - 3$

Étape 4.2.3.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 {\sqrt{x + 3}}^{2}}{16} - 3$

Étape 4.2.3.1.3

Réécrivez ${\sqrt{x + 3}}^{2}$ comme $x + 3$ .

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Étape 4.2.3.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 3}$ comme ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16} - 3$

Étape 4.2.3.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16} - 3$

Étape 4.2.3.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 {(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}{16} - 3$

Étape 4.2.3.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 {(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}{16} - 3$

Étape 4.2.3.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 (x + 3)}{16} - 3$

Étape 4.2.3.1.3.5

Simplifiez

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 (x + 3)}{16} - 3$

Étape 4.2.3.2

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = \frac{16 (x + 3)}{16} - 3$

Étape 4.2.3.2.2

Divisez $x + 3$ par $1$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = x + 3 - 3$

Étape 4.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 3 - 3$ .

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Étape 4.2.4.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = x + 0$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt{x + 3}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{x^{2}}{16} - 3)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = 4 \sqrt{(\frac{x^{2}}{16} - 3) + 3}$

Étape 4.3.3

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = 4 \sqrt{\frac{x^{2}}{16} + 0}$

Étape 4.3.4

Additionnez $\frac{x^{2}}{16}$ et $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = 4 \sqrt{\frac{x^{2}}{16}}$

Étape 4.3.5

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = 4 \sqrt{\frac{x^{2}}{4^{2}}}$

Étape 4.3.6

Réécrivez $\frac{x^{2}}{4^{2}}$ comme ${(\frac{x}{4})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = 4 \sqrt{{(\frac{x}{4})}^{2}}$

Étape 4.3.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = 4 (\frac{x}{4})$

Étape 4.3.8

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = 4 (\frac{x}{4})$

Étape 4.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{16} - 3) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{16} - 3$ est l’inverse de $f (x) = 4 \sqrt{x + 3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{16} - 3$