Algèbre Exemples

$\log_{8} (\sqrt[3]{\frac{1}{64}})$

Étape 1

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{1}{64}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{64}}$ .

$\log_{8} (\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{64}})$

Étape 2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\log_{8} (\frac{1}{\sqrt[3]{64}})$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$\log_{8} (\frac{1}{\sqrt[3]{4^{3}}})$

Étape 3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\log_{8} (\frac{1}{4})$

Étape 4

La base logarithmique $8$ de $\frac{1}{4}$ est $- \frac{2}{3}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez comme une équation.

$\log_{8} (\frac{1}{4}) = x$

Étape 4.2

Réécrivez $\log_{8} (\frac{1}{4}) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ n’est pas égal à $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$8^{x} = \frac{1}{4}$

Étape 4.3

Créez dans l’équation des expressions qui ont toutes des bases égales.

${(2^{3})}^{x} = 2^{- 2}$

Étape 4.4

Réécrivez ${(2^{3})}^{x}$ comme $2^{3 x}$ .

$2^{3 x} = 2^{- 2}$

Étape 4.5

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$3 x = - 2$

Étape 4.6

Résolvez $x$ .

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 4.7

La variable $x$ est égale à $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{2}{3}$

Forme décimale :

$- 0.\overline{6}$