Algèbre Exemples

$\log_{2} (x^{2} - 7) - \log_{2} (x + 5) = 0$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2} - 7}{x + 5}) = 0$

Étape 2

Réécrivez $\log_{2} (\frac{x^{2} - 7}{x + 5}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$2^{0} = \frac{x^{2} - 7}{x + 5}$

Étape 3

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$x^{2} - 7 = 2^{0} (x + 5)$

Étape 4

Simplifiez $2^{0} (x + 5)$ .

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Étape 4.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{2} - 7 = 1 (x + 5)$

Étape 4.2

Multipliez $x + 5$ par $1$ .

$x^{2} - 7 = x + 5$

Étape 5

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 7 - x = 5$

Étape 6

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - x = 5 + 7$

Étape 6.2

Additionnez $5$ et $7$ .

$x^{2} - x = 12$

Étape 7

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - x - 12 = 0$

Étape 8

Factorisez $x^{2} - x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 4, 3$

Étape 8.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 4) (x + 3) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 10

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 10.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 11

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 11.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 4) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 4, - 3$