Algèbre Exemples

$\frac{3 a^{2} + 6 a + 3}{a^{2} - 3 a - 10} \div \frac{12 a^{2} - 12}{a^{2} - 4}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{3 a^{2} + 6 a + 3}{a^{2} - 3 a - 10} \cdot \frac{a^{2} - 4}{12 a^{2} - 12}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 a^{2} + 6 a + 3$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 a^{2}$ .

$\frac{3 (a^{2}) + 6 a + 3}{a^{2} - 3 a - 10} \cdot \frac{a^{2} - 4}{12 a^{2} - 12}$

Étape 2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6 a$ .

$\frac{3 (a^{2}) + 3 (2 a) + 3}{a^{2} - 3 a - 10} \cdot \frac{a^{2} - 4}{12 a^{2} - 12}$

Étape 2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (a^{2}) + 3 (2 a) + 3 (1)}{a^{2} - 3 a - 10} \cdot \frac{a^{2} - 4}{12 a^{2} - 12}$

Étape 2.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (a^{2}) + 3 (2 a)$ .

$\frac{3 (a^{2} + 2 a) + 3 (1)}{a^{2} - 3 a - 10} \cdot \frac{a^{2} - 4}{12 a^{2} - 12}$

Étape 2.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (a^{2} + 2 a) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (a^{2} + 2 a + 1)}{a^{2} - 3 a - 10} \cdot \frac{a^{2} - 4}{12 a^{2} - 12}$

Étape 2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{3 (a^{2} + 2 a + 1^{2})}{a^{2} - 3 a - 10} \cdot \frac{a^{2} - 4}{12 a^{2} - 12}$

Étape 2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 a = 2 \cdot a \cdot 1$

Étape 2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{3 (a^{2} + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^{2})}{a^{2} - 3 a - 10} \cdot \frac{a^{2} - 4}{12 a^{2} - 12}$

Étape 2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = a$ et $b = 1$ .

$\frac{3 {(a + 1)}^{2}}{a^{2} - 3 a - 10} \cdot \frac{a^{2} - 4}{12 a^{2} - 12}$

Étape 3

Factorisez $a^{2} - 3 a - 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 10$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 5, 2$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3 {(a + 1)}^{2}}{(a - 5) (a + 2)} \cdot \frac{a^{2} - 4}{12 a^{2} - 12}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{3 {(a + 1)}^{2}}{(a - 5) (a + 2)} \cdot \frac{a^{2} - 2^{2}}{12 a^{2} - 12}$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 2$ .

$\frac{3 {(a + 1)}^{2}}{(a - 5) (a + 2)} \cdot \frac{(a + 2) (a - 2)}{12 a^{2} - 12}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Factorisez $12$ à partir de $12 a^{2} - 12$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $12$ à partir de $12 a^{2}$ .

$\frac{3 {(a + 1)}^{2}}{(a - 5) (a + 2)} \cdot \frac{(a + 2) (a - 2)}{12 (a^{2}) - 12}$

Étape 5.1.2

Factorisez $12$ à partir de $- 12$ .

$\frac{3 {(a + 1)}^{2}}{(a - 5) (a + 2)} \cdot \frac{(a + 2) (a - 2)}{12 (a^{2}) + 12 (- 1)}$

Étape 5.1.3

Factorisez $12$ à partir de $12 (a^{2}) + 12 (- 1)$ .

$\frac{3 {(a + 1)}^{2}}{(a - 5) (a + 2)} \cdot \frac{(a + 2) (a - 2)}{12 (a^{2} - 1)}$

Étape 5.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{3 {(a + 1)}^{2}}{(a - 5) (a + 2)} \cdot \frac{(a + 2) (a - 2)}{12 (a^{2} - 1^{2})}$

Étape 5.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 1$ .

$\frac{3 {(a + 1)}^{2}}{(a - 5) (a + 2)} \cdot \frac{(a + 2) (a - 2)}{12 (a + 1) (a - 1)}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Associez.

$\frac{3 {(a + 1)}^{2} ((a + 2) (a - 2))}{(a - 5) (a + 2) (12 (a + 1) (a - 1))}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à $3$ et $12$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(a + 1)}^{2} ((a + 2) (a - 2))$ .

$\frac{3 ({(a + 1)}^{2} ((a + 2) (a - 2)))}{(a - 5) (a + 2) (12 (a + 1) (a - 1))}$

Étape 6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $(a - 5) (a + 2) (12 (a + 1) (a - 1))$ .

$\frac{3 ({(a + 1)}^{2} ((a + 2) (a - 2)))}{3 ((a - 5) (a + 2) (4 (a + 1) (a - 1)))}$

Étape 6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 ({(a + 1)}^{2} ((a + 2) (a - 2)))}{3 ((a - 5) (a + 2) (4 (a + 1) (a - 1)))}$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(a + 1)}^{2} ((a + 2) (a - 2))}{(a - 5) (a + 2) (4 (a + 1) (a - 1))}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun à ${(a + 1)}^{2}$ et $a + 1$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $a + 1$ à partir de ${(a + 1)}^{2} ((a + 2) (a - 2))$ .

$\frac{(a + 1) ((a + 1) ((a + 2) (a - 2)))}{(a - 5) (a + 2) (4 (a + 1) (a - 1))}$

Étape 6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.1

Factorisez $a + 1$ à partir de $(a - 5) (a + 2) (4 (a + 1) (a - 1))$ .

$\frac{(a + 1) ((a + 1) ((a + 2) (a - 2)))}{(a + 1) ((a - 5) (a + 2) (4 (a - 1)))}$

Étape 6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a + 1) ((a + 1) ((a + 2) (a - 2)))}{(a + 1) ((a - 5) (a + 2) (4 (a - 1)))}$

Étape 6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a + 1) ((a + 2) (a - 2))}{(a - 5) (a + 2) (4 (a - 1))}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $a + 2$ .

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a + 1) ((a + 2) (a - 2))}{(a - 5) (a + 2) (4 (a - 1))}$

Étape 6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a + 1) (a - 2)}{(a - 5) (4 (a - 1))}$

Étape 6.5

Déplacez $4$ à gauche de $a - 5$ .

$\frac{(a + 1) (a - 2)}{4 (a - 5) (a - 1)}$