Algèbre Exemples

$\log_{5} (125) - \log_{5} (\sqrt{5}) = \log_{5} (x)$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\log_{5} (x) = \log_{5} (125) - \log_{5} (\sqrt{5})$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (125) - \log_{5} (\sqrt{5})$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Simplifiez $\log_{5} (125) - \log_{5} (\sqrt{5})$ .

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Étape 2.1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125}{\sqrt{5}})$

Étape 2.1.2

Multipliez $\frac{125}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Étape 2.1.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Multipliez $\frac{125}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Étape 2.1.3.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Étape 2.1.3.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Étape 2.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Étape 2.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Étape 2.1.3.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 2.1.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 2.1.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 2.1.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Étape 2.1.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Étape 2.1.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{5^{1}})$

Étape 2.1.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{5})$

Étape 2.1.4

Annulez le facteur commun à $125$ et $5$ .

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Étape 2.1.4.1

Factorisez $5$ à partir de $125 \sqrt{5}$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{5 (25 \sqrt{5})}{5})$

Étape 2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.4.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{5 (25 \sqrt{5})}{5 (1)})$

Étape 2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{5 (25 \sqrt{5})}{5 \cdot 1})$

Étape 2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{25 \sqrt{5}}{1})$

Étape 2.1.4.2.4

Divisez $25 \sqrt{5}$ par $1$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (25 \sqrt{5})$

Étape 3

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$x = 25 \sqrt{5}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 25 \sqrt{5}$

Forme décimale :

$x = 55.90169943 \dots$