Algèbre Exemples

$(\frac{a^{2} - 4 a b + 4 b^{2}}{a^{2} + 2 a b}) (\frac{a^{2}}{a^{2} - 4 b^{2}})$

Étape 1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1

Réécrivez $4 b^{2}$ comme ${(2 b)}^{2}$ .

$\frac{a^{2} - 4 a b + {(2 b)}^{2}}{a^{2} + 2 a b} \cdot \frac{a^{2}}{a^{2} - 4 b^{2}}$

Étape 1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 a b = 2 \cdot a \cdot (2 b)$

Étape 1.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot (2 b) + {(2 b)}^{2}}{a^{2} + 2 a b} \cdot \frac{a^{2}}{a^{2} - 4 b^{2}}$

Étape 1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = a$ et $b = 2 b$ .

$\frac{{(a - 2 b)}^{2}}{a^{2} + 2 a b} \cdot \frac{a^{2}}{a^{2} - 4 b^{2}}$

Étape 2

Factorisez $a$ à partir de $a^{2} + 2 a b$ .

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Étape 2.1

Factorisez $a$ à partir de $a^{2}$ .

$\frac{{(a - 2 b)}^{2}}{a \cdot a + 2 a b} \cdot \frac{a^{2}}{a^{2} - 4 b^{2}}$

Étape 2.2

Factorisez $a$ à partir de $2 a b$ .

$\frac{{(a - 2 b)}^{2}}{a \cdot a + a (2 b)} \cdot \frac{a^{2}}{a^{2} - 4 b^{2}}$

Étape 2.3

Factorisez $a$ à partir de $a \cdot a + a (2 b)$ .

$\frac{{(a - 2 b)}^{2}}{a (a + 2 b)} \cdot \frac{a^{2}}{a^{2} - 4 b^{2}}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $4 b^{2}$ comme ${(2 b)}^{2}$ .

$\frac{{(a - 2 b)}^{2}}{a (a + 2 b)} \cdot \frac{a^{2}}{a^{2} - {(2 b)}^{2}}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 2 b$ .

$\frac{{(a - 2 b)}^{2}}{a (a + 2 b)} \cdot \frac{a^{2}}{(a + 2 b) (a - (2 b))}$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{{(a - 2 b)}^{2}}{a (a + 2 b)} \cdot \frac{a^{2}}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Associez.

$\frac{{(a - 2 b)}^{2} a^{2}}{a (a + 2 b) ((a + 2 b) (a - 2 b))}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à ${(a - 2 b)}^{2}$ et $a - 2 b$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $a - 2 b$ à partir de ${(a - 2 b)}^{2} a^{2}$ .

$\frac{(a - 2 b) ((a - 2 b) a^{2})}{a (a + 2 b) ((a + 2 b) (a - 2 b))}$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Factorisez $a - 2 b$ à partir de $a (a + 2 b) ((a + 2 b) (a - 2 b))$ .

$\frac{(a - 2 b) ((a - 2 b) a^{2})}{(a - 2 b) (a (a + 2 b) (a + 2 b))}$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a - 2 b) ((a - 2 b) a^{2})}{(a - 2 b) (a (a + 2 b) (a + 2 b))}$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a - 2 b) a^{2}}{a (a + 2 b) (a + 2 b)}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à $a^{2}$ et $a$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $a$ à partir de $(a - 2 b) a^{2}$ .

$\frac{a ((a - 2 b) a)}{a (a + 2 b) (a + 2 b)}$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $a$ à partir de $a (a + 2 b) (a + 2 b)$ .

$\frac{a ((a - 2 b) a)}{a ((a + 2 b) (a + 2 b))}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{a ((a - 2 b) a)}{a ((a + 2 b) (a + 2 b))}$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a - 2 b) a}{(a + 2 b) (a + 2 b)}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Élevez $a + 2 b$ à la puissance $1$ .

$\frac{(a - 2 b) a}{{(a + 2 b)}^{1} (a + 2 b)}$

Étape 5.2

Élevez $a + 2 b$ à la puissance $1$ .

$\frac{(a - 2 b) a}{{(a + 2 b)}^{1} {(a + 2 b)}^{1}}$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(a - 2 b) a}{{(a + 2 b)}^{1 + 1}}$

Étape 5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(a - 2 b) a}{{(a + 2 b)}^{2}}$

Étape 6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{(a - 2 b) a}{{(a + 2 b)}^{2}}$ .

$\frac{a (a - 2 b)}{{(a + 2 b)}^{2}}$