Algèbre Exemples

$f (x) = (x + 2) (x - 1) (x - (4 + 3 i)) (x - (4 - 3 i))$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = (x + 2) (x - 1) (x - (4 + 3 i)) (x - (4 - 3 i))$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $(x + 2) (x - 1) (x - (4 + 3 i)) (x - (4 - 3 i)) = 0$ .

$(x + 2) (x - 1) (x - (4 + 3 i)) (x - (4 - 3 i)) = 0$

Étape 1.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x - (4 + 3 i) = 0$

$x - (4 - 3 i) = 0$

Étape 1.2.3

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 1.2.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.2.5

Définissez $x - (4 + 3 i)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - (4 + 3 i)$ égal à $0$ .

$x - (4 + 3 i) = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $x - (4 + 3 i) = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x - 1 \cdot 4 - (3 i) = 0$

Étape 1.2.5.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$x - 4 - (3 i) = 0$

Étape 1.2.5.2.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x - 4 - 3 i = 0$

Étape 1.2.5.2.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.2.5.2.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x - 3 i = 4$

Étape 1.2.5.2.2.2

Ajoutez $3 i$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4 + 3 i$

Étape 1.2.6

Définissez $x - (4 - 3 i)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $x - (4 - 3 i)$ égal à $0$ .

$x - (4 - 3 i) = 0$

Étape 1.2.6.2

Résolvez $x - (4 - 3 i) = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x - 1 \cdot 4 - (- 3 i) = 0$

Étape 1.2.6.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$x - 4 - (- 3 i) = 0$

Étape 1.2.6.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$x - 4 + 3 i = 0$

Étape 1.2.6.2.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.2.6.2.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x + 3 i = 4$

Étape 1.2.6.2.2.2

Soustrayez $3 i$ des deux côtés de l’équation.

$x = 4 - 3 i$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (x - 1) (x - (4 + 3 i)) (x - (4 - 3 i)) = 0$ vraie.

$x = - 2, 1, 4 + 3 i, 4 - 3 i$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(- 2, 0), (1, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = ((0) + 2) ((0) - 1) ((0) - (4 + 3 i)) ((0) - (4 - 3 i))$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = (0 + 2) ((0) - 1) ((0) - (4 + 3 i)) ((0) - (4 - 3 i))$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = (0 + 2) (0 - 1) ((0) - (4 + 3 i)) ((0) - (4 - 3 i))$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = (0 + 2) (0 - 1) (0 - (4 + 3 i)) ((0) - (4 - 3 i))$

Étape 2.2.4

Supprimez les parenthèses.

$y = (0 + 2) (0 - 1) (0 - (4 + 3 i)) (0 - (4 - 3 i))$

Étape 2.2.5

Supprimez les parenthèses.

$y = ((0) + 2) ((0) - 1) ((0) - (4 + 3 i)) ((0) - (4 - 3 i))$

Étape 2.2.6

Simplifiez $((0) + 2) ((0) - 1) ((0) - (4 + 3 i)) ((0) - (4 - 3 i))$ .

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Étape 2.2.6.1

Simplifiez les termes.

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Étape 2.2.6.1.1

Additionnez $0$ et $2$ .

$y = 2 ((0) - 1) ((0) - (4 + 3 i)) ((0) - (4 - 3 i))$

Étape 2.2.6.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.6.1.2.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$y = 2 \cdot - 1 ((0) - (4 + 3 i)) ((0) - (4 - 3 i))$

Étape 2.2.6.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = - 2 ((0) - (4 + 3 i)) ((0) - (4 - 3 i))$

Étape 2.2.6.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.6.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 2 (0 - 1 \cdot 4 - (3 i)) ((0) - (4 - 3 i))$

Étape 2.2.6.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = - 2 (0 - 4 - (3 i)) ((0) - (4 - 3 i))$

Étape 2.2.6.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y = - 2 (0 - 4 - 3 i) ((0) - (4 - 3 i))$

Étape 2.2.6.1.4

Simplifiez en multipliant.

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Étape 2.2.6.1.4.1

Soustrayez $4$ de $0$ .

$y = - 2 (- 4 - 3 i) ((0) - (4 - 3 i))$

Étape 2.2.6.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = (- 2 \cdot - 4 - 2 (- 3 i)) ((0) - (4 - 3 i))$

Étape 2.2.6.1.4.3

Multipliez.

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Étape 2.2.6.1.4.3.1

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$y = (8 - 2 (- 3 i)) ((0) - (4 - 3 i))$

Étape 2.2.6.1.4.3.2

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$y = (8 + 6 i) ((0) - (4 - 3 i))$

Étape 2.2.6.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.6.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = (8 + 6 i) (0 - 1 \cdot 4 - (- 3 i))$

Étape 2.2.6.1.5.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = (8 + 6 i) (0 - 4 - (- 3 i))$

Étape 2.2.6.1.5.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$y = (8 + 6 i) (0 - 4 + 3 i)$

Étape 2.2.6.1.6

Soustrayez $4$ de $0$ .

$y = (8 + 6 i) (- 4 + 3 i)$

Étape 2.2.6.2

Développez $(8 + 6 i) (- 4 + 3 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 8 (- 4 + 3 i) + 6 i (- 4 + 3 i)$

Étape 2.2.6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = 8 \cdot - 4 + 8 (3 i) + 6 i (- 4 + 3 i)$

Étape 2.2.6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = 8 \cdot - 4 + 8 (3 i) + 6 i \cdot - 4 + 6 i (3 i)$

Étape 2.2.6.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.6.3.1.1

Multipliez $8$ par $- 4$ .

$y = - 32 + 8 (3 i) + 6 i \cdot - 4 + 6 i (3 i)$

Étape 2.2.6.3.1.2

Multipliez $3$ par $8$ .

$y = - 32 + 24 i + 6 i \cdot - 4 + 6 i (3 i)$

Étape 2.2.6.3.1.3

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$y = - 32 + 24 i - 24 i + 6 i (3 i)$

Étape 2.2.6.3.1.4

Multipliez $6 i (3 i)$ .

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Étape 2.2.6.3.1.4.1

Multipliez $3$ par $6$ .

$y = - 32 + 24 i - 24 i + 18 i i$

Étape 2.2.6.3.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = - 32 + 24 i - 24 i + 18 (i^{1} i)$

Étape 2.2.6.3.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = - 32 + 24 i - 24 i + 18 (i^{1} i^{1})$

Étape 2.2.6.3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = - 32 + 24 i - 24 i + 18 i^{1 + 1}$

Étape 2.2.6.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = - 32 + 24 i - 24 i + 18 i^{2}$

Étape 2.2.6.3.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = - 32 + 24 i - 24 i + 18 \cdot - 1$

Étape 2.2.6.3.1.6

Multipliez $18$ par $- 1$ .

$y = - 32 + 24 i - 24 i - 18$

Étape 2.2.6.3.2

Soustrayez $18$ de $- 32$ .

$y = - 50 + 24 i - 24 i$

Étape 2.2.6.3.3

Soustrayez $24 i$ de $24 i$ .

$y = - 50 + 0$

Étape 2.2.6.3.4

Additionnez $- 50$ et $0$ .

$y = - 50$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 50)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(- 2, 0), (1, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 50)$

Étape 4