Algèbre Exemples

$p (x) = (2 x + 2) (5 x - 2) (x + 3)$

Étape 1

Simplifiez le polynôme, puis remettez dans l’ordre de gauche à droite en commençant par le terme de degré le plus élevé.

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Étape 1.1

Développez $(2 x + 2) (5 x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (x) = (2 x (5 x - 2) + 2 (5 x - 2)) (x + 3)$

Étape 1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (x) = (2 x (5 x) + 2 x \cdot - 2 + 2 (5 x - 2)) (x + 3)$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (x) = (2 x (5 x) + 2 x \cdot - 2 + 2 (5 x) + 2 \cdot - 2) (x + 3)$

Étape 1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (x) = (2 \cdot (5 x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 + 2 (5 x) + 2 \cdot - 2) (x + 3)$

Étape 1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$p (x) = (2 \cdot (5 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 2 + 2 (5 x) + 2 \cdot - 2) (x + 3)$

Étape 1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$p (x) = (2 \cdot (5 x^{2}) + 2 x \cdot - 2 + 2 (5 x) + 2 \cdot - 2) (x + 3)$

Étape 1.2.1.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$p (x) = (10 x^{2} + 2 x \cdot - 2 + 2 (5 x) + 2 \cdot - 2) (x + 3)$

Étape 1.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$p (x) = (10 x^{2} - 4 x + 2 (5 x) + 2 \cdot - 2) (x + 3)$

Étape 1.2.1.5

Multipliez $5$ par $2$ .

$p (x) = (10 x^{2} - 4 x + 10 x + 2 \cdot - 2) (x + 3)$

Étape 1.2.1.6

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$p (x) = (10 x^{2} - 4 x + 10 x - 4) (x + 3)$

Étape 1.2.2

Additionnez $- 4 x$ et $10 x$ .

$p (x) = (10 x^{2} + 6 x - 4) (x + 3)$

Étape 1.3

Développez $(10 x^{2} + 6 x - 4) (x + 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (x) = 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 - 4 x - 4 \cdot 3$

Étape 1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$p (x) = 10 (x \cdot x^{2}) + 10 x^{2} \cdot 3 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 - 4 x - 4 \cdot 3$

Étape 1.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.4.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$p (x) = 10 (x \cdot x^{2}) + 10 x^{2} \cdot 3 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 - 4 x - 4 \cdot 3$

Étape 1.4.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (x) = 10 x^{1 + 2} + 10 x^{2} \cdot 3 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 - 4 x - 4 \cdot 3$

Étape 1.4.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$p (x) = 10 x^{3} + 10 x^{2} \cdot 3 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 - 4 x - 4 \cdot 3$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $3$ par $10$ .

$p (x) = 10 x^{3} + 30 x^{2} + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 - 4 x - 4 \cdot 3$

Étape 1.4.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1.3.1

Déplacez $x$ .

$p (x) = 10 x^{3} + 30 x^{2} + 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot 3 - 4 x - 4 \cdot 3$

Étape 1.4.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$p (x) = 10 x^{3} + 30 x^{2} + 6 x^{2} + 6 x \cdot 3 - 4 x - 4 \cdot 3$

Étape 1.4.1.4

Multipliez $3$ par $6$ .

$p (x) = 10 x^{3} + 30 x^{2} + 6 x^{2} + 18 x - 4 x - 4 \cdot 3$

Étape 1.4.1.5

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$p (x) = 10 x^{3} + 30 x^{2} + 6 x^{2} + 18 x - 4 x - 12$

Étape 1.4.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.4.2.1

Additionnez $30 x^{2}$ et $6 x^{2}$ .

$p (x) = 10 x^{3} + 36 x^{2} + 18 x - 4 x - 12$

Étape 1.4.2.2

Soustrayez $4 x$ de $18 x$ .

$p (x) = 10 x^{3} + 36 x^{2} + 14 x - 12$

Étape 2

Le degré d’un polynôme est le degré le plus élevé de ses termes.

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Étape 2.1

Identifiez les exposants sur les variables dans chaque terme et additionnez-les entre eux pour déterminer le degré de chaque terme.

$10 x^{3} \to 3$

$36 x^{2} \to 2$

$14 x \to 1$

$- 12 \to 0$

Étape 2.2

Le plus grand exposant est le degré d’un polynôme.

$3$

Étape 3

Le terme principal dans un polynôme est le terme avec le plus haut degré.

$10 x^{3}$

Étape 4

Le coefficient directeur d’un polynôme est le coefficient du terme principal.

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Étape 4.1

Le terme principal dans un polynôme est le terme avec le plus haut degré.

$10 x^{3}$

Étape 4.2

Le coefficient directeur dans un polynôme est le coefficient du terme principal.

$10$

Étape 5

Indiquez les résultats.

Degré polynomial : $3$

Terme principal : $10 x^{3}$

Coefficient directeur : $10$