Algèbre Exemples

$6 x^{2} + 4 x + 4 < - x + 8$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 1.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’inégalité.

$6 x^{2} + 4 x + 4 + x < 8$

Étape 1.2

Additionnez $4 x$ et $x$ .

$6 x^{2} + 5 x + 4 < 8$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$6 x^{2} + 5 x + 4 = 8$

Étape 3

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$6 x^{2} + 5 x + 4 - 8 = 0$

Étape 4

Soustrayez $8$ de $4$ .

$6 x^{2} + 5 x - 4 = 0$

Étape 5

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$6 x^{2} + 5 (x) - 4 = 0$

Étape 5.1.2

Réécrivez $5$ comme $- 3$ plus $8$

$6 x^{2} + (- 3 + 8) x - 4 = 0$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 x^{2} - 3 x + 8 x - 4 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(6 x^{2} - 3 x) + 8 x - 4 = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$3 x (2 x - 1) + 4 (2 x - 1) = 0$

Étape 5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (3 x + 4) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$3 x + 4 = 0$

Étape 7

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 8

Définissez $3 x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $3 x + 4$ égal à $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $3 x + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 8.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 4$

Étape 8.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 8.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 4$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Étape 8.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Étape 8.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Étape 8.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4}{3}$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 1) (3 x + 4) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{4}{3}$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{4}{3}$

$- \frac{4}{3} < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{4}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{4}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$6 {(- 4)}^{2} + 4 (- 4) + 4 < - (- 4) + 8$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $84$ n’est pas inférieur au côté droit $12$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{4}{3} < x < \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{4}{3} < x < \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$6 {(0)}^{2} + 4 (0) + 4 < - (0) + 8$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $4$ est inférieur au côté droit $8$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$6 {(3)}^{2} + 4 (3) + 4 < - (3) + 8$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $70$ n’est pas inférieur au côté droit $5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{4}{3}$ Faux

$- \frac{4}{3} < x < \frac{1}{2}$ Vrai

$x > \frac{1}{2}$ Faux

$x < - \frac{4}{3}$ Faux

$- \frac{4}{3} < x < \frac{1}{2}$ Vrai

$x > \frac{1}{2}$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \frac{4}{3} < x < \frac{1}{2}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- \frac{4}{3} < x < \frac{1}{2}$

Notation d’intervalle :

$(- \frac{4}{3}, \frac{1}{2})$

Étape 14