Algèbre Exemples

$N = \sqrt[b]{\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt[b]{\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}}} = N$ .

$\sqrt[b]{\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}}} = N$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $b$ .

${\sqrt[b]{\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}}}}^{b} = N^{b}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[b]{\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}}}$ comme ${(\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}})}^{\frac{1}{b}}$ .

${({(\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}})}^{\frac{1}{b}})}^{b} = N^{b}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}})}^{\frac{1}{b}})}^{b}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}}$ .

${(\frac{{(1 + 2^{b})}^{\frac{1}{b}}}{{(1 + 2^{- b})}^{\frac{1}{b}}})}^{b} = N^{b}$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{{(1 + 2^{b})}^{\frac{1}{b}}}{{(1 + 2^{- b})}^{\frac{1}{b}}}$ .

$\frac{{({(1 + 2^{b})}^{\frac{1}{b}})}^{b}}{{({(1 + 2^{- b})}^{\frac{1}{b}})}^{b}} = N^{b}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(1 + 2^{b})}^{\frac{1}{b}})}^{b}$ .

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Étape 3.2.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(1 + 2^{b})}^{\frac{1}{b} b}}{{({(1 + 2^{- b})}^{\frac{1}{b}})}^{b}} = N^{b}$

Étape 3.2.1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $b$ .

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Étape 3.2.1.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(1 + 2^{b})}^{\frac{1}{b} b}}{{({(1 + 2^{- b})}^{\frac{1}{b}})}^{b}} = N^{b}$

Étape 3.2.1.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(1 + 2^{b})}^{1}}{{({(1 + 2^{- b})}^{\frac{1}{b}})}^{b}} = N^{b}$

Étape 3.2.1.2.2

Simplifiez

$\frac{1 + 2^{b}}{{({(1 + 2^{- b})}^{\frac{1}{b}})}^{b}} = N^{b}$

Étape 3.2.1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(1 + 2^{- b})}^{\frac{1}{b}})}^{b}$ .

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Étape 3.2.1.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1 + 2^{b}}{{(1 + 2^{- b})}^{\frac{1}{b} b}} = N^{b}$

Étape 3.2.1.3.1.2

Annulez le facteur commun de $b$ .

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Étape 3.2.1.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + 2^{b}}{{(1 + 2^{- b})}^{\frac{1}{b} b}} = N^{b}$

Étape 3.2.1.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + 2^{b}}{{(1 + 2^{- b})}^{1}} = N^{b}$

Étape 3.2.1.3.2

Simplifiez

$\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}} = N^{b}$

Étape 4

Résolvez $b$ .

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Étape 4.1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln (\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}}) = \ln (N^{b})$

Étape 4.2

Réécrivez $\ln (\frac{1 + 2^{b}}{1 + 2^{- b}})$ comme $\ln (1 + 2^{b}) - \ln (1 + 2^{- b})$ .

$\ln (1 + 2^{b}) - \ln (1 + 2^{- b}) = \ln (N^{b})$

Étape 4.3

Développez $\ln (N^{b})$ en déplaçant $b$ hors du logarithme.

$\ln (1 + 2^{b}) - \ln (1 + 2^{- b}) = b \ln (N)$