Algèbre Exemples

$\frac{x^{3} + x^{2} y + x y^{2}}{\frac{x^{2}}{y} - \frac{y^{2}}{x}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $y x$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{x^{3} + x^{2} y + x y^{2}}{\frac{x^{2}}{y} - \frac{y^{2}}{x}}$ par $\frac{y x}{y x}$ .

$\frac{y x}{y x} \cdot \frac{x^{3} + x^{2} y + x y^{2}}{\frac{x^{2}}{y} - \frac{y^{2}}{x}}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{y x (x^{3} + x^{2} y + x y^{2})}{y x (\frac{x^{2}}{y} - \frac{y^{2}}{x})}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y x \cdot x^{3} + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})}{y x \frac{x^{2}}{y} + y x (- \frac{y^{2}}{x})}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y x$ .

$\frac{y x \cdot x^{3} + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})}{y (x) \frac{x^{2}}{y} + y x (- \frac{y^{2}}{x})}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y x \cdot x^{3} + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})}{y x \frac{x^{2}}{y} + y x (- \frac{y^{2}}{x})}$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y x \cdot x^{3} + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})}{x \cdot x^{2} + y x (- \frac{y^{2}}{x})}$

Étape 3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{y x \cdot x^{3} + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})}{x^{1} x^{2} + y x (- \frac{y^{2}}{x})}$

Étape 3.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y x \cdot x^{3} + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})}{x^{1 + 2} + y x (- \frac{y^{2}}{x})}$

Étape 3.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{y x \cdot x^{3} + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})}{x^{3} + y x (- \frac{y^{2}}{x})}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y^{2}}{x}$ dans le numérateur.

$\frac{y x \cdot x^{3} + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})}{x^{3} + y x \frac{- y^{2}}{x}}$

Étape 3.3.2

Factorisez $x$ à partir de $y x$ .

$\frac{y x \cdot x^{3} + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})}{x^{3} + x y \frac{- y^{2}}{x}}$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y x \cdot x^{3} + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})}{x^{3} + x y \frac{- y^{2}}{x}}$

Étape 3.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{y x \cdot x^{3} + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})}{x^{3} + y (- y^{2})}$

Étape 3.4

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y x \cdot x^{3} + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})}{x^{3} - (y^{1} y^{2})}$

Étape 3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y x \cdot x^{3} + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})}{x^{3} - y^{1 + 2}}$

Étape 3.6

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{y x \cdot x^{3} + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})}{x^{3} - y^{3}}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Factorisez $y x \cdot x$ à partir de $y x \cdot x^{3} + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $y x \cdot x$ à partir de $y x \cdot x^{3}$ .

$\frac{y x \cdot x (x^{2}) + y x (x^{2} y) + y x (x y^{2})}{x^{3} - y^{3}}$

Étape 4.1.2

Factorisez $y x \cdot x$ à partir de $y x (x^{2} y)$ .

$\frac{y x \cdot x (x^{2}) + y x \cdot x (x y) + y x (x y^{2})}{x^{3} - y^{3}}$

Étape 4.1.3

Factorisez $y x \cdot x$ à partir de $y x (x y^{2})$ .

$\frac{y x \cdot x (x^{2}) + y x \cdot x (x y) + y x \cdot x (y^{2})}{x^{3} - y^{3}}$

Étape 4.1.4

Factorisez $y x \cdot x$ à partir de $y x \cdot x (x^{2}) + y x \cdot x (x y)$ .

$\frac{y x \cdot x (x^{2} + x y) + y x \cdot x (y^{2})}{x^{3} - y^{3}}$

Étape 4.1.5

Factorisez $y x \cdot x$ à partir de $y x \cdot x (x^{2} + x y) + y x \cdot x (y^{2})$ .

$\frac{y x \cdot x (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{3} - y^{3}}$

Étape 4.2

Associez les exposants.

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Étape 4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{y (x^{1} x) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{3} - y^{3}}$

Étape 4.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{y (x^{1} x^{1}) (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{3} - y^{3}}$

Étape 4.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y x^{1 + 1} (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{3} - y^{3}}$

Étape 4.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{y x^{2} (x^{2} + x y + y^{2})}{x^{3} - y^{3}}$

Étape 5

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = y$ .

$\frac{y x^{2} (x^{2} + x y + y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $x^{2} + x y + y^{2}$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y x^{2} (x^{2} + x y + y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y x^{2}}{x - y}$