Algèbre Exemples

$\frac{2}{5} \cdot 4^{5 v} - 8 = 4$

Étape 1

Simplifiez $\frac{2}{5} \cdot 4^{5 v} - 8$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{2}{5} \cdot 4^{5 v}$ .

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Étape 1.1.1

Associez $\frac{2}{5}$ et $4^{5 v}$ .

$\frac{2 \cdot 4^{5 v}}{5} - 8 = 4$

Étape 1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{5 v}}{5} - 8 = 4$

Étape 1.1.3

Multipliez les exposants dans ${(2^{2})}^{5 v}$ .

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{2 (5 v)}}{5} - 8 = 4$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{2 \cdot 2^{10 v}}{5} - 8 = 4$

Étape 1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2^{1 + 10 v}}{5} - 8 = 4$

Étape 1.2

Pour écrire $- 8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2^{1 + 10 v}}{5} - 8 \cdot \frac{5}{5} = 4$

Étape 1.3

Associez $- 8$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2^{1 + 10 v}}{5} + \frac{- 8 \cdot 5}{5} = 4$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2^{1 + 10 v} - 8 \cdot 5}{5} = 4$

Étape 1.5

Multipliez $- 8$ par $5$ .

$\frac{2^{1 + 10 v} - 40}{5} = 4$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $5$ .

$\frac{2^{1 + 10 v} - 40}{5} \cdot 5 = 4 \cdot 5$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Simplifiez $\frac{2^{1 + 10 v} - 40}{5} \cdot 5$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2^{1 + 10 v} - 40}{5} \cdot 5 = 4 \cdot 5$

Étape 3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2^{1 + 10 v} - 40 = 4 \cdot 5$

Étape 3.1.1.2

Remettez dans l’ordre $1$ et $10 v$ .

$2^{10 v + 1} - 40 = 4 \cdot 5$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Multipliez $4$ par $5$ .

$2^{10 v + 1} - 40 = 20$

Étape 4

Résolvez $v$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $v$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.1.1

Ajoutez $40$ aux deux côtés de l’équation.

$2^{10 v + 1} = 20 + 40$

Étape 4.1.2

Additionnez $20$ et $40$ .

$2^{10 v + 1} = 60$

Étape 4.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{10 v + 1}) = \ln (60)$

Étape 4.3

Développez $\ln (2^{10 v + 1})$ en déplaçant $10 v + 1$ hors du logarithme.

$(10 v + 1) \ln (2) = \ln (60)$

Étape 4.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.1

Simplifiez $(10 v + 1) \ln (2)$ .

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Étape 4.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$10 v \ln (2) + 1 \ln (2) = \ln (60)$

Étape 4.4.1.2

Multipliez $\ln (2)$ par $1$ .

$10 v \ln (2) + \ln (2) = \ln (60)$

Étape 4.5

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$10 v \ln (2) + \ln (2) - \ln (60) = 0$

Étape 4.6

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$10 v \ln (2) + \ln (\frac{2}{60}) = 0$

Étape 4.7

Annulez le facteur commun à $2$ et $60$ .

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Étape 4.7.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$10 v \ln (2) + \ln (\frac{2 (1)}{60}) = 0$

Étape 4.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $60$ .

$10 v \ln (2) + \ln (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 30}) = 0$

Étape 4.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$10 v \ln (2) + \ln (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 30}) = 0$

Étape 4.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$10 v \ln (2) + \ln (\frac{1}{30}) = 0$

Étape 4.8

Soustrayez $\ln (\frac{1}{30})$ des deux côtés de l’équation.

$10 v \ln (2) = - \ln (\frac{1}{30})$

Étape 4.9

Divisez chaque terme dans $10 v \ln (2) = - \ln (\frac{1}{30})$ par $10 \ln (2)$ et simplifiez.

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Étape 4.9.1

Divisez chaque terme dans $10 v \ln (2) = - \ln (\frac{1}{30})$ par $10 \ln (2)$ .

$\frac{10 v \ln (2)}{10 \ln (2)} = \frac{- \ln (\frac{1}{30})}{10 \ln (2)}$

Étape 4.9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.9.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 4.9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 v \ln (2)}{10 \ln (2)} = \frac{- \ln (\frac{1}{30})}{10 \ln (2)}$

Étape 4.9.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{v \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- \ln (\frac{1}{30})}{10 \ln (2)}$

Étape 4.9.2.2

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 4.9.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{v \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- \ln (\frac{1}{30})}{10 \ln (2)}$

Étape 4.9.2.2.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{- \ln (\frac{1}{30})}{10 \ln (2)}$

Étape 4.9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.9.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$v = - \frac{\ln (\frac{1}{30})}{10 \ln (2)}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$v = - \frac{\ln (\frac{1}{30})}{10 \ln (2)}$

Forme décimale :

$v = 0.49068905 \dots$