Algèbre Exemples

$5^{x + 4} = y$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $y = 5^{x + 4}$ .

$y = 5^{x + 4}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 5^{y + 4}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $5^{y + 4} = x$ .

$5^{y + 4} = x$

Étape 3.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (5^{y + 4}) = \ln (x)$

Étape 3.3

Développez $\ln (5^{y + 4})$ en déplaçant $y + 4$ hors du logarithme.

$(y + 4) \ln (5) = \ln (x)$

Étape 3.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y \ln (5) + 4 \ln (5) = \ln (x)$

Étape 3.5

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$y \ln (5) + 4 \ln (5) - \ln (x) = 0$

Étape 3.6

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.6.1

Soustrayez $4 \ln (5)$ des deux côtés de l’équation.

$y \ln (5) - \ln (x) = - 4 \ln (5)$

Étape 3.6.2

Ajoutez $\ln (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$y \ln (5) = - 4 \ln (5) + \ln (x)$

Étape 3.7

Divisez chaque terme dans $y \ln (5) = - 4 \ln (5) + \ln (x)$ par $\ln (5)$ et simplifiez.

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Étape 3.7.1

Divisez chaque terme dans $y \ln (5) = - 4 \ln (5) + \ln (x)$ par $\ln (5)$ .

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- 4 \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Étape 3.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.7.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (5)$ .

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Étape 3.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- 4 \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Étape 3.7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 4 \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Étape 3.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.7.3.1

Annulez le facteur commun de $\ln (5)$ .

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Étape 3.7.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- 4 \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Étape 3.7.3.1.2

Divisez $- 4$ par $1$ .

$y = - 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ est l’inverse de $f (x) = 5^{x + 4}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} \cdot 5^{x + 4}$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = - 4 + \frac{\ln (5^{x + 4})}{\ln (5)}$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Développez $\ln (5^{x + 4})$ en déplaçant $x + 4$ hors du logarithme.

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = - 4 + \frac{(x + 4) \ln (5)}{\ln (5)}$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun de $\ln (5)$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = - 4 + \frac{(x + 4) \ln (5)}{\ln (5)}$

Étape 5.2.3.2.2

Divisez $x + 4$ par $1$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = - 4 + x + 4$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $- 4 + x + 4$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{(- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) + 4}$

Étape 5.3.3

Associez les termes opposés dans $(- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) + 4$ .

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Étape 5.3.3.1

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{0 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}}$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $0$ et $\frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ .

$f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\frac{\ln (x)}{\ln (5)}}$

Étape 5.3.4

Utilisez la règle du changement de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\log_{5} (x)}$

Étape 5.3.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ est l’inverse de $f (x) = 5^{x + 4}$ .

$f^{- 1} (x) = - 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$