Algèbre Exemples

$(3 x^{2} + 2 x - 3) (x^{2} - x - 1)$

Étape 1

Pour écrire un polynôme en forme normalisée, simplifiez puis classez les termes par ordre décroissant.

$a x^{2} + b x + c$

Étape 2

Développez $(3 x^{2} + 2 x - 3) (x^{2} - x - 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} (- x) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (- x) + 2 x \cdot - 1 - 3 x^{2} - 3 (- x) - 3 \cdot - 1$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$3 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} (- x) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (- x) + 2 x \cdot - 1 - 3 x^{2} - 3 (- x) - 3 \cdot - 1$

Étape 3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{2 + 2} + 3 x^{2} (- x) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (- x) + 2 x \cdot - 1 - 3 x^{2} - 3 (- x) - 3 \cdot - 1$

Étape 3.1.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$3 x^{4} + 3 x^{2} (- x) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (- x) + 2 x \cdot - 1 - 3 x^{2} - 3 (- x) - 3 \cdot - 1$

Étape 3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 x^{4} + 3 \cdot - 1 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot - 1 + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (- x) + 2 x \cdot - 1 - 3 x^{2} - 3 (- x) - 3 \cdot - 1$

Étape 3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.3.1

Déplacez $x$ .

$3 x^{4} + 3 \cdot - 1 (x \cdot x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (- x) + 2 x \cdot - 1 - 3 x^{2} - 3 (- x) - 3 \cdot - 1$

Étape 3.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 x^{4} + 3 \cdot - 1 (x^{1} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (- x) + 2 x \cdot - 1 - 3 x^{2} - 3 (- x) - 3 \cdot - 1$

Étape 3.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{4} + 3 \cdot - 1 x^{1 + 2} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (- x) + 2 x \cdot - 1 - 3 x^{2} - 3 (- x) - 3 \cdot - 1$

Étape 3.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 x^{4} + 3 \cdot - 1 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (- x) + 2 x \cdot - 1 - 3 x^{2} - 3 (- x) - 3 \cdot - 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$3 x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (- x) + 2 x \cdot - 1 - 3 x^{2} - 3 (- x) - 3 \cdot - 1$

Étape 3.1.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (- x) + 2 x \cdot - 1 - 3 x^{2} - 3 (- x) - 3 \cdot - 1$

Étape 3.1.6

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.6.1

Déplacez $x^{2}$ .

$3 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 (x^{2} x) + 2 x (- x) + 2 x \cdot - 1 - 3 x^{2} - 3 (- x) - 3 \cdot - 1$

Étape 3.1.6.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.1.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (- x) + 2 x \cdot - 1 - 3 x^{2} - 3 (- x) - 3 \cdot - 1$

Étape 3.1.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{2 + 1} + 2 x (- x) + 2 x \cdot - 1 - 3 x^{2} - 3 (- x) - 3 \cdot - 1$

Étape 3.1.6.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$3 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x (- x) + 2 x \cdot - 1 - 3 x^{2} - 3 (- x) - 3 \cdot - 1$

Étape 3.1.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{3} + 2 \cdot - 1 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 3 x^{2} - 3 (- x) - 3 \cdot - 1$

Étape 3.1.8

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.8.1

Déplacez $x$ .

$3 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{3} + 2 \cdot - 1 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 3 x^{2} - 3 (- x) - 3 \cdot - 1$

Étape 3.1.8.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{3} + 2 \cdot - 1 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 3 x^{2} - 3 (- x) - 3 \cdot - 1$

Étape 3.1.9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 3 x^{2} - 3 (- x) - 3 \cdot - 1$

Étape 3.1.10

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - 3 x^{2} - 3 (- x) - 3 \cdot - 1$

Étape 3.1.11

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$3 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - 3 x^{2} + 3 x - 3 \cdot - 1$

Étape 3.1.12

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$3 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - 3 x^{2} + 3 x + 3$

Étape 3.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.2.1

Additionnez $- 3 x^{3}$ et $2 x^{3}$ .

$3 x^{4} - x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{2} - 2 x - 3 x^{2} + 3 x + 3$

Étape 3.2.2

Soustrayez $2 x^{2}$ de $- 3 x^{2}$ .

$3 x^{4} - x^{3} - 5 x^{2} - 2 x - 3 x^{2} + 3 x + 3$

Étape 3.2.3

Soustrayez $3 x^{2}$ de $- 5 x^{2}$ .

$3 x^{4} - x^{3} - 8 x^{2} - 2 x + 3 x + 3$

Étape 3.2.4

Additionnez $- 2 x$ et $3 x$ .

$3 x^{4} - x^{3} - 8 x^{2} + x + 3$