Algèbre Exemples

$\sqrt[4]{3 - 8 x^{2}} = 2 x$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $4$ .

${\sqrt[4]{3 - 8 x^{2}}}^{4} = {(2 x)}^{4}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{3 - 8 x^{2}}$ comme ${(3 - 8 x^{2})}^{\frac{1}{4}}$ .

${({(3 - 8 x^{2})}^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(2 x)}^{4}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(3 - 8 x^{2})}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 - 8 x^{2})}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - 8 x^{2})}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(2 x)}^{4}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(3 - 8 x^{2})}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(2 x)}^{4}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(3 - 8 x^{2})}^{1} = {(2 x)}^{4}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$3 - 8 x^{2} = {(2 x)}^{4}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(2 x)}^{4}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$3 - 8 x^{2} = 2^{4} x^{4}$

Étape 2.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$3 - 8 x^{2} = 16 x^{4}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $16 x^{4}$ des deux côtés de l’équation.

$3 - 8 x^{2} - 16 x^{4} = 0$

Étape 3.2

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$- 16 u^{2} - 8 u + 3 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 3.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 16 u^{2} - 8 u + 3$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 16 u^{2}$ .

$- (16 u^{2}) - 8 u + 3 = 0$

Étape 3.3.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 8 u$ .

$- (16 u^{2}) - (8 u) + 3 = 0$

Étape 3.3.1.3

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$- (16 u^{2}) - (8 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Étape 3.3.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (16 u^{2}) - (8 u)$ .

$- (16 u^{2} + 8 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Étape 3.3.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (16 u^{2} + 8 u) - 1 (- 3)$ .

$- (16 u^{2} + 8 u - 3) = 0$

Étape 3.3.2

Factorisez.

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Étape 3.3.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.3.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 16 \cdot - 3 = - 48$ et dont la somme est $b = 8$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 u$ .

$- (16 u^{2} + 8 (u) - 3) = 0$

Étape 3.3.2.1.1.2

Réécrivez $8$ comme $- 4$ plus $12$

$- (16 u^{2} + (- 4 + 12) u - 3) = 0$

Étape 3.3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (16 u^{2} - 4 u + 12 u - 3) = 0$

Étape 3.3.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.3.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- ((16 u^{2} - 4 u) + 12 u - 3) = 0$

Étape 3.3.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- (4 u (4 u - 1) + 3 (4 u - 1)) = 0$

Étape 3.3.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 u - 1$ .

$- ((4 u - 1) (4 u + 3)) = 0$

Étape 3.3.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (4 u - 1) (4 u + 3) = 0$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$4 u + 3 = 0$

Étape 3.5

Définissez $4 u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $4 u - 1$ égal à $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $4 u - 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 3.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 u = 1$

Étape 3.5.2.2

Divisez chaque terme dans $4 u = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 u = 1$ par $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 3.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 3.5.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Étape 3.6

Définissez $4 u + 3$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $4 u + 3$ égal à $0$ .

$4 u + 3 = 0$

Étape 3.6.2

Résolvez $4 u + 3 = 0$ pour $u$ .

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Étape 3.6.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$4 u = - 3$

Étape 3.6.2.2

Divisez chaque terme dans $4 u = - 3$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 u = - 3$ par $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 3}{4}$

Étape 3.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 3}{4}$

Étape 3.6.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{- 3}{4}$

Étape 3.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{3}{4}$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (4 u - 1) (4 u + 3) = 0$ vraie.

$u = \frac{1}{4}, - \frac{3}{4}$

Étape 3.8

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = - \frac{3}{4}$

Étape 3.9

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Étape 3.10

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.10.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Étape 3.10.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 3.10.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Étape 3.10.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Étape 3.10.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.10.2.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 3.10.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Étape 3.10.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.10.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 3.10.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 3.10.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Étape 3.11

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - \frac{3}{4}$

Étape 3.12

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.12.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = - \frac{3}{4}$

Étape 3.12.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$

Étape 3.12.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$ .

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Étape 3.12.3.1

Réécrivez $- \frac{3}{4}$ comme ${(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.12.3.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{4}}$

Étape 3.12.3.1.2

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $3$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{4}}$

Étape 3.12.3.1.3

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}}$

Étape 3.12.3.1.4

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 3)}$

Étape 3.12.3.1.5

Réécrivez $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ comme ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3}$

Étape 3.12.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{3}$

Étape 3.12.3.3

Associez $\frac{i}{2}$ et $\sqrt{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.12.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.12.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.12.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.12.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.13

La solution à $- 16 x^{4} - 8 x^{2} + 3 = 0$ est $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$