Algèbre Exemples

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = \sqrt[4]{x^{3}}$

Étape 1

Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\sqrt[4]{x^{3}} = {(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$

Étape 2

Soustrayez ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt[4]{x^{3}} - {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt[4]{x^{3}} - x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt[4]{x^{3}} - x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt[4]{x^{3}} - x^{3} = 0$

Étape 4

Factorisez $\sqrt[4]{x^{3}} - x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x^{3}}$ comme $x^{\frac{3}{4}}$ .

$x^{\frac{3}{4}} - x^{3} = 0$

Étape 4.2

Factorisez $x^{\frac{3}{4}}$ à partir de $x^{\frac{3}{4}} - x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Multipliez par $1$ .

$x^{\frac{3}{4}} \cdot 1 - x^{3} = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez $x^{\frac{3}{4}}$ à partir de $- x^{3}$ .

$x^{\frac{3}{4}} \cdot 1 + x^{\frac{3}{4}} (- x^{\frac{9}{4}}) = 0$

Étape 4.2.3

Factorisez $x^{\frac{3}{4}}$ à partir de $x^{\frac{3}{4}} \cdot 1 + x^{\frac{3}{4}} (- x^{\frac{9}{4}})$ .

$x^{\frac{3}{4}} (1 - x^{\frac{9}{4}}) = 0$

Étape 4.3

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$x^{\frac{3}{4}} (1^{3} - x^{\frac{9}{4}}) = 0$

Étape 4.4

Réécrivez $x^{\frac{9}{4}}$ comme ${(x^{\frac{3}{4}})}^{3}$ .

$x^{\frac{3}{4}} (1^{3} - {(x^{\frac{3}{4}})}^{3}) = 0$

Étape 4.5

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = x^{\frac{3}{4}}$ .

$x^{\frac{3}{4}} ((1 - x^{\frac{3}{4}}) (1^{2} + 1 x^{\frac{3}{4}} + {(x^{\frac{3}{4}})}^{2})) = 0$

Étape 4.6

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$x^{\frac{3}{4}} ((1^{3} - x^{\frac{3}{4}}) (1^{2} + 1 x^{\frac{3}{4}} + {(x^{\frac{3}{4}})}^{2})) = 0$

Étape 4.6.1.2

Réécrivez $x^{\frac{3}{4}}$ comme ${(x^{\frac{1}{4}})}^{3}$ .

$x^{\frac{3}{4}} ((1^{3} - {(x^{\frac{1}{4}})}^{3}) (1^{2} + 1 x^{\frac{3}{4}} + {(x^{\frac{3}{4}})}^{2})) = 0$

Étape 4.6.1.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = x^{\frac{1}{4}}$ .

$x^{\frac{3}{4}} ((1 - x^{\frac{1}{4}}) (1^{2} + 1 x^{\frac{1}{4}} + {(x^{\frac{1}{4}})}^{2}) (1^{2} + 1 x^{\frac{3}{4}} + {(x^{\frac{3}{4}})}^{2})) = 0$

Étape 4.6.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x^{\frac{3}{4}} ((1 - x^{\frac{1}{4}}) (1 + 1 x^{\frac{1}{4}} + {(x^{\frac{1}{4}})}^{2}) (1^{2} + 1 x^{\frac{3}{4}} + {(x^{\frac{3}{4}})}^{2})) = 0$

Étape 4.6.1.4.2

Multipliez $x^{\frac{1}{4}}$ par $1$ .

$x^{\frac{3}{4}} ((1 - x^{\frac{1}{4}}) (1 + x^{\frac{1}{4}} + {(x^{\frac{1}{4}})}^{2}) (1^{2} + 1 x^{\frac{3}{4}} + {(x^{\frac{3}{4}})}^{2})) = 0$

Étape 4.6.1.4.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4}} ((1 - x^{\frac{1}{4}}) (1 + x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4} \cdot 2}) (1^{2} + 1 x^{\frac{3}{4}} + {(x^{\frac{3}{4}})}^{2})) = 0$

Étape 4.6.1.4.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x^{\frac{3}{4}} ((1 - x^{\frac{1}{4}}) (1 + x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2}) (1^{2} + 1 x^{\frac{3}{4}} + {(x^{\frac{3}{4}})}^{2})) = 0$

Étape 4.6.1.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{3}{4}} ((1 - x^{\frac{1}{4}}) (1 + x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2}) (1^{2} + 1 x^{\frac{3}{4}} + {(x^{\frac{3}{4}})}^{2})) = 0$

Étape 4.6.1.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{3}{4}} ((1 - x^{\frac{1}{4}}) (1 + x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}}) (1^{2} + 1 x^{\frac{3}{4}} + {(x^{\frac{3}{4}})}^{2})) = 0$

Étape 4.6.1.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{\frac{3}{4}} ((1 - x^{\frac{1}{4}}) (x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 1) (1^{2} + 1 x^{\frac{3}{4}} + {(x^{\frac{3}{4}})}^{2})) = 0$

Étape 4.6.1.5

Multipliez $x^{\frac{3}{4}}$ par $1$ .

$x^{\frac{3}{4}} ((1 - x^{\frac{1}{4}}) (x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 1) (1^{2} + x^{\frac{3}{4}} + {(x^{\frac{3}{4}})}^{2})) = 0$

Étape 4.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{\frac{3}{4}} (1 - x^{\frac{1}{4}}) (x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 1) (1^{2} + x^{\frac{3}{4}} + {(x^{\frac{3}{4}})}^{2}) = 0$

Étape 4.7

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x^{\frac{3}{4}} (1 - x^{\frac{1}{4}}) (x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 1) (1 + x^{\frac{3}{4}} + {(x^{\frac{3}{4}})}^{2}) = 0$

Étape 4.7.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{4}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4}} (1 - x^{\frac{1}{4}}) (x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 1) (1 + x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{3}{4} \cdot 2}) = 0$

Étape 4.7.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x^{\frac{3}{4}} (1 - x^{\frac{1}{4}}) (x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 1) (1 + x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{3}{2 (2)} \cdot 2}) = 0$

Étape 4.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{3}{4}} (1 - x^{\frac{1}{4}}) (x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 1) (1 + x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot 2}) = 0$

Étape 4.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{3}{4}} (1 - x^{\frac{1}{4}}) (x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 1) (1 + x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{3}{2}}) = 0$

Étape 4.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{\frac{3}{4}} (1 - x^{\frac{1}{4}}) (x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{3}{2}} + 1) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{\frac{3}{4}} = 0$

$1 - x^{\frac{1}{4}} = 0$

$x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$

$x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{3}{2}} + 1 = 0$

Étape 6

Définissez $x^{\frac{3}{4}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez $x^{\frac{3}{4}}$ égal à $0$ .

$x^{\frac{3}{4}} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x^{\frac{3}{4}} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{4}{3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 6.2.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 6.2.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 6.2.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 6.2.2.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 6.2.2.1.1.2

Simplifiez

$x = 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.2.1

Simplifiez $0^{\frac{4}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.2.1.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.2.1.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Étape 6.2.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 0^{3 (\frac{4}{3})}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = 0^{3 (\frac{4}{3})}$

Étape 6.2.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = 0^{4}$

Étape 6.2.2.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 7

Définissez $1 - x^{\frac{1}{4}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Définissez $1 - x^{\frac{1}{4}}$ égal à $0$ .

$1 - x^{\frac{1}{4}} = 0$

Étape 7.2

Résolvez $1 - x^{\frac{1}{4}} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{\frac{1}{4}} = - 1$

Étape 7.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $4$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(- x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 1)}^{4}$

Étape 7.2.3

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1.1

Simplifiez ${(- x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- x^{\frac{1}{4}}$ .

${(- 1)}^{4} {(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 1)}^{4}$

Étape 7.2.3.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 {(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 1)}^{4}$

Étape 7.2.3.1.1.3

Multipliez ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ par $1$ .

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 1)}^{4}$

Étape 7.2.3.1.1.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 1)}^{4}$

Étape 7.2.3.1.1.4.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 1)}^{4}$

Étape 7.2.3.1.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(- 1)}^{4}$

Étape 7.2.3.1.1.5

Simplifiez

$x = {(- 1)}^{4}$

Étape 7.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$x = 1$

Étape 8

Définissez $x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Définissez $x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 1$ égal à $0$ .

$x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Déterminez un facteur commun $x^{\frac{1}{4}}$ présent dans chaque terme.

$x^{\frac{1}{4}} {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} + 1$

Étape 8.2.2

Remplacez $x^{\frac{1}{4}}$ par $u$ .

$(u) {(u)}^{2} + 1 = 0$

Étape 8.2.3

Résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1

Multipliez $u$ par ${(u)}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1.1

Multipliez $u$ par ${(u)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1.1.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$u^{1} {(u)}^{2} + 1 = 0$

Étape 8.2.3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$u^{1 + 2} + 1 = 0$

Étape 8.2.3.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$u^{3} + 1 = 0$

Étape 8.2.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u^{3} = - 1$

Étape 8.2.3.3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u^{3} + 1 = 0$

Étape 8.2.3.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$u^{3} + 1^{3} = 0$

Étape 8.2.3.4.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = u$ et $b = 1$ .

$(u + 1) (u^{2} - u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 8.2.3.4.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(u + 1) (u^{2} - u + 1^{2}) = 0$

Étape 8.2.3.4.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(u + 1) (u^{2} - u + 1) = 0$

Étape 8.2.3.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u + 1 = 0$

$u^{2} - u + 1 = 0$

Étape 8.2.3.6

Définissez $u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.6.1

Définissez $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 8.2.3.6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 8.2.3.7

Définissez $u^{2} - u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.7.1

Définissez $u^{2} - u + 1$ égal à $0$ .

$u^{2} - u + 1 = 0$

Étape 8.2.3.7.2

Résolvez $u^{2} - u + 1 = 0$ pour $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.7.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 8.2.3.7.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.7.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.7.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.7.2.3.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.7.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.7.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.7.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.7.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.7.2.3.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.7.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.7.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.7.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.3.7.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.3.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u + 1) (u^{2} - u + 1) = 0$ vraie.

$u = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.4

Remplacez $u$ par $x$ .

$x^{\frac{1}{4}} = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.5

Résolvez $x^{\frac{1}{4}} = - 1$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.5.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $4$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 1)}^{4}$

Étape 8.2.5.2

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.5.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.5.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.5.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 1)}^{4}$

Étape 8.2.5.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.5.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 1)}^{4}$

Étape 8.2.5.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(- 1)}^{4}$

Étape 8.2.5.2.1.1.2

Simplifiez

$x = {(- 1)}^{4}$

Étape 8.2.5.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.5.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$x = 1$

Étape 8.2.6

Résolvez $x^{\frac{1}{4}} = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $4$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

Étape 8.2.6.2

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

Étape 8.2.6.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

Étape 8.2.6.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

Étape 8.2.6.2.1.1.2

Simplifiez

$x = {(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

Étape 8.2.6.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.2.2.1

Simplifiez ${(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.2.2.1.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = \frac{{(1 + i \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}}$

Étape 8.2.6.2.2.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$x = \frac{{(1 + i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.2

Utilisez le théorème du binôme.

$x = \frac{1^{4} + 4 \cdot 1^{3} (i \sqrt{3}) + 6 \cdot 1^{2} {(i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{1 + 4 \cdot 1^{3} (i \sqrt{3}) + 6 \cdot 1^{2} {(i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{1 + 4 \cdot 1 (i \sqrt{3}) + 6 \cdot 1^{2} {(i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$x = \frac{1 + 4 (i \sqrt{3}) + 6 \cdot 1^{2} {(i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} + 6 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.5

Multipliez $6$ par $1$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} + 6 {(i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.6

Appliquez la règle de produit à $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.7

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.8

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 \cdot 3^{1}) + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.8.5

Évaluez l’exposant.

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 \cdot 3) + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.9

Multipliez $6 (- 1 \cdot 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} + 6 \cdot - 3 + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.9.2

Multipliez $6$ par $- 3$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 \cdot 1 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.10

Multipliez $4$ par $1$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 {(i \sqrt{3})}^{3} + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.11

Appliquez la règle de produit à $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (i^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.12

Factorisez $i^{2}$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (i^{2} \cdot i {\sqrt{3}}^{3}) + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.13

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (- 1 \cdot i {\sqrt{3}}^{3}) + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.14

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (- i {\sqrt{3}}^{3}) + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.15

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (- i \sqrt{3^{3}}) + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.16

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (- i \sqrt{27}) + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.17

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.17.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (- i \sqrt{9 (3)}) + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.17.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (- i \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.18

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (- i (3 \sqrt{3})) + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.19

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (- 3 i \sqrt{3}) + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.20

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 (i \sqrt{3}) + {(i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.21

Appliquez la règle de produit à $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + i^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.22

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.22.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(i^{2})}^{2} {\sqrt{3}}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.22.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.22.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 1 {\sqrt{3}}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.23

Multipliez ${\sqrt{3}}^{4}$ par $1$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.24

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.24.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.24.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.24.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.24.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.24.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.24.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.24.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.24.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.24.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.24.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{2}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.25

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 9}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.2.2.1.3.2.1

Soustrayez $18$ de $1$ .

$x = \frac{4 i \sqrt{3} - 17 - 12 i \sqrt{3} + 9}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.2.2

Soustrayez $12 i \sqrt{3}$ de $4 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 8 i \sqrt{3} - 17 + 9}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.2.2.1.3.2.3.1

Additionnez $- 17$ et $9$ .

$x = \frac{- 8 i \sqrt{3} - 8}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.2.3.2

Remettez dans l’ordre $- 8 i \sqrt{3}$ et $- 8$ .

$x = \frac{- 8 - 8 i \sqrt{3}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.2.4

Annulez le facteur commun à $- 8 - 8 i \sqrt{3}$ et $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.2.2.1.3.2.4.1

Factorisez $8$ à partir de $- 8$ .

$x = \frac{8 (- 1) - 8 i \sqrt{3}}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.2.4.2

Factorisez $8$ à partir de $- 8 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{8 (- 1) + 8 (- i \sqrt{3})}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.2.4.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (- 1) + 8 (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{8 (- 1 - i \sqrt{3})}{16}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.2.4.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.2.2.1.3.2.4.4.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$x = \frac{8 (- 1 - i \sqrt{3})}{8 \cdot 2}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.2.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{8 (- 1 - i \sqrt{3})}{8 \cdot 2}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.2.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.2.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 (1) - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 (1) - (i \sqrt{3})}{2}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.7

Résolvez $x^{\frac{1}{4}} = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.7.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $4$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

Étape 8.2.7.2

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.7.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.7.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.7.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

Étape 8.2.7.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.7.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

Étape 8.2.7.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

Étape 8.2.7.2.1.1.2

Simplifiez

$x = {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

Étape 8.2.7.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.7.2.2.1

Simplifiez ${(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.7.2.2.1.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.7.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = \frac{{(1 - i \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}}$

Étape 8.2.7.2.2.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$x = \frac{{(1 - i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.2

Utilisez le théorème du binôme.

$x = \frac{1^{4} + 4 \cdot 1^{3} (- i \sqrt{3}) + 6 \cdot 1^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{1 + 4 \cdot 1^{3} (- i \sqrt{3}) + 6 \cdot 1^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{1 + 4 \cdot 1 (- i \sqrt{3}) + 6 \cdot 1^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$x = \frac{1 + 4 (- i \sqrt{3}) + 6 \cdot 1^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$x = \frac{1 - 4 (i \sqrt{3}) + 6 \cdot 1^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} + 6 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.6

Multipliez $6$ par $1$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} + 6 {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.7.1

Appliquez la règle de produit à $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} + 6 ({(- i)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.7.2

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} + 6 ({(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} + 6 (1 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.9

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} + 6 (i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.10

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.11

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.11.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.11.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.11.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.11.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.11.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.11.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 \cdot 3^{1}) + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.11.5

Évaluez l’exposant.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 \cdot 3) + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.12

Multipliez $6 (- 1 \cdot 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.12.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} + 6 \cdot - 3 + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.12.2

Multipliez $6$ par $- 3$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.13

Multipliez $4$ par $1$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.14

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.14.1

Appliquez la règle de produit à $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 ({(- i)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.14.2

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 ({(- 1)}^{3} i^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.15

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (- i^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.16

Factorisez $i^{2}$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (- (i^{2} \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.17

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (- (- 1 \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.18

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (- - i {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.19

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (1 i {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.20

Multipliez $i$ par $1$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (i {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.21

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (i \sqrt{3^{3}}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.22

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (i \sqrt{27}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.23

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.23.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (i \sqrt{9 (3)}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.23.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (i \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.24

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (i (3 \sqrt{3})) + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.25

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 (3 \cdot i \sqrt{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.26

Multipliez $3$ par $4$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 (i \sqrt{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.27

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.27.1

Appliquez la règle de produit à $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + {(- i)}^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.27.2

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + {(- 1)}^{4} i^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.28

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + 1 i^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.29

Multipliez $i^{4}$ par $1$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + i^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.30

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.30.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + {(i^{2})}^{2} {\sqrt{3}}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.30.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + {(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.30.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + 1 {\sqrt{3}}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.31

Multipliez ${\sqrt{3}}^{4}$ par $1$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.32

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.32.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.32.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.32.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.32.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.32.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.32.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.32.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.32.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.32.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.32.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + 3^{2}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.1.33

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 - 4 i \sqrt{3} - 18 + 12 i \sqrt{3} + 9}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.7.2.2.1.3.2.1

Soustrayez $18$ de $1$ .

$x = \frac{- 4 i \sqrt{3} - 17 + 12 i \sqrt{3} + 9}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.2.2

Additionnez $- 4 i \sqrt{3}$ et $12 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{8 i \sqrt{3} - 17 + 9}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.7.2.2.1.3.2.3.1

Additionnez $- 17$ et $9$ .

$x = \frac{8 i \sqrt{3} - 8}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.2.3.2

Remettez dans l’ordre $8 i \sqrt{3}$ et $- 8$ .

$x = \frac{- 8 + 8 i \sqrt{3}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.2.4

Annulez le facteur commun à $- 8 + 8 i \sqrt{3}$ et $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.7.2.2.1.3.2.4.1

Factorisez $8$ à partir de $- 8$ .

$x = \frac{8 \cdot - 1 + 8 i \sqrt{3}}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.2.4.2

Factorisez $8$ à partir de $8 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{8 \cdot - 1 + 8 (i \sqrt{3})}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.2.4.3

Factorisez $8$ à partir de $8 \cdot - 1 + 8 (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{8 \cdot (- 1 + i \sqrt{3})}{16}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.2.4.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.7.2.2.1.3.2.4.4.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$x = \frac{8 \cdot (- 1 + i \sqrt{3})}{8 (2)}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.2.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{8 \cdot (- 1 + i \sqrt{3})}{8 \cdot 2}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.2.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.2.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 (1) + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 (1) - (- i \sqrt{3})}{2}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Étape 8.2.7.2.2.1.3.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.8

Indiquez toutes les solutions.

$x = 1, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 9

Définissez $x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{3}{2}} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Définissez $x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{3}{2}} + 1$ égal à $0$ .

$x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{3}{2}} + 1 = 0$

Étape 9.2

Résolvez $x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{3}{2}} + 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Déterminez un facteur commun $x^{\frac{3}{4}}$ présent dans chaque terme.

$x^{\frac{3}{4}} {(x^{\frac{3}{4}})}^{2} + 1$

Étape 9.2.2

Remplacez $x^{\frac{3}{4}}$ par $u$ .

$(u) {(u)}^{2} + 1 = 0$

Étape 9.2.3

Résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.3.1

Multipliez $u$ par ${(u)}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.3.1.1

Multipliez $u$ par ${(u)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.3.1.1.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$u^{1} {(u)}^{2} + 1 = 0$

Étape 9.2.3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$u^{1 + 2} + 1 = 0$

Étape 9.2.3.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$u^{3} + 1 = 0$

Étape 9.2.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u^{3} = - 1$

Étape 9.2.3.3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u^{3} + 1 = 0$

Étape 9.2.3.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.3.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$u^{3} + 1^{3} = 0$

Étape 9.2.3.4.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = u$ et $b = 1$ .

$(u + 1) (u^{2} - u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 9.2.3.4.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.3.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(u + 1) (u^{2} - u + 1^{2}) = 0$

Étape 9.2.3.4.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(u + 1) (u^{2} - u + 1) = 0$

Étape 9.2.3.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u + 1 = 0$

$u^{2} - u + 1 = 0$

Étape 9.2.3.6

Définissez $u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.3.6.1

Définissez $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 9.2.3.6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 9.2.3.7

Définissez $u^{2} - u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.3.7.1

Définissez $u^{2} - u + 1$ égal à $0$ .

$u^{2} - u + 1 = 0$

Étape 9.2.3.7.2

Résolvez $u^{2} - u + 1 = 0$ pour $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.3.7.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 9.2.3.7.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.2.3.7.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.3.7.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.3.7.2.3.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.2.3.7.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.3.7.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.2.3.7.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.2.3.7.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.2.3.7.2.3.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.2.3.7.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.2.3.7.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 9.2.3.7.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 9.2.3.7.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 9.2.3.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u + 1) (u^{2} - u + 1) = 0$ vraie.

$u = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 9.2.4

Remplacez $u$ par $x$ .

$x^{\frac{3}{4}} = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 9.2.5

Résolvez $x^{\frac{3}{4}} = - 1$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.5.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{4}{3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = {(- 1)}^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.2.5.2

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.5.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.5.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.5.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = {(- 1)}^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.2.5.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.5.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = {(- 1)}^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.2.5.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 1)}^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.2.5.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.5.2.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 1)}^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.2.5.2.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(- 1)}^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.2.5.2.1.1.2

Simplifiez

$x = {(- 1)}^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.2.5.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.5.2.2.1

Simplifiez ${(- 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.5.2.2.1.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.5.2.2.1.1.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$x = {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.2.5.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}$

Étape 9.2.5.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.5.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}$

Étape 9.2.5.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = {(- 1)}^{4}$

Étape 9.2.5.2.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$x = 1$

Étape 9.2.6

Résolvez $x^{\frac{3}{4}} = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.6.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{4}{3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = {(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.2.6.2

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.6.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.6.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.6.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = {(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.2.6.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.6.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = {(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.2.6.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.2.6.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.6.2.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.2.6.2.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.2.6.2.1.1.2

Simplifiez

$x = {(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.2.6.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.6.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = \frac{{(1 + i \sqrt{3})}^{\frac{4}{3}}}{2^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.2.7

Résolvez $x^{\frac{3}{4}} = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.7.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{4}{3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.2.7.2

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.7.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.7.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.7.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.2.7.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.7.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.2.7.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.2.7.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.7.2.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.2.7.2.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.2.7.2.1.1.2

Simplifiez

$x = {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.2.7.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.7.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = \frac{{(1 - i \sqrt{3})}^{\frac{4}{3}}}{2^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.2.8

Indiquez toutes les solutions.

$x = 1, \frac{{(1 + i \sqrt{3})}^{\frac{4}{3}}}{2^{\frac{4}{3}}}, \frac{{(1 - i \sqrt{3})}^{\frac{4}{3}}}{2^{\frac{4}{3}}}$

Étape 10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{\frac{3}{4}} (1 - x^{\frac{1}{4}}) (x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{3}{2}} + 1) = 0$ vraie.

$x = 0, 1, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, \frac{{(1 + i \sqrt{3})}^{\frac{4}{3}}}{2^{\frac{4}{3}}}, \frac{{(1 - i \sqrt{3})}^{\frac{4}{3}}}{2^{\frac{4}{3}}}$