Algèbre Exemples

${(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 25$

Étape 1

Comme $x = r \cos (θ)$ , remplacez $x$ par $r \cos (θ)$ .

${((r \cos (θ)) - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 25$

Étape 2

Comme $y = r \sin (θ)$ , remplacez $y$ par $r \sin (θ)$ .

${((r \cos (θ)) - 3)}^{2} + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} = 25$

Étape 3

Résolvez $r$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $25$ des deux côtés de l’équation.

${((r \cos (θ)) - 3)}^{2} + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez ${(r \cos (θ) - 3)}^{2}$ comme $(r \cos (θ) - 3) (r \cos (θ) - 3)$ .

$(r \cos (θ) - 3) (r \cos (θ) - 3) + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Étape 3.2.1.2

Développez $(r \cos (θ) - 3) (r \cos (θ) - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$r \cos (θ) (r \cos (θ) - 3) - 3 (r \cos (θ) - 3) + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Étape 3.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ) - 3) + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Étape 3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Étape 3.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.3.1.1

Multipliez $r$ par $r$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.3.1.1.1

Déplacez $r$ .

$r \cdot r \cos (θ) \cos (θ) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Étape 3.2.1.3.1.1.2

Multipliez $r$ par $r$ .

$r^{2} \cos (θ) \cos (θ) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Étape 3.2.1.3.1.2

Multipliez $r^{2} \cos (θ) \cos (θ)$ .

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Étape 3.2.1.3.1.2.1

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$r^{2} (\cos (θ) \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Étape 3.2.1.3.1.2.2

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$r^{2} (\cos (θ) \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Étape 3.2.1.3.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$r^{2} {\cos (θ)}^{1 + 1} + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Étape 3.2.1.3.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Étape 3.2.1.3.1.3

Déplacez $- 3$ à gauche de $r \cos (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 3 \cdot (r \cos (θ)) - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Étape 3.2.1.3.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 3 r \cos (θ) - 3 r \cos (θ) + 9 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Étape 3.2.1.3.2

Soustrayez $3 r \cos (θ)$ de $- 3 r \cos (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Étape 3.2.1.4

Réécrivez ${(r \sin (θ) + 4)}^{2}$ comme $(r \sin (θ) + 4) (r \sin (θ) + 4)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + (r \sin (θ) + 4) (r \sin (θ) + 4) - 25 = 0$

Étape 3.2.1.5

Développez $(r \sin (θ) + 4) (r \sin (θ) + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \sin (θ) (r \sin (θ) + 4) + 4 (r \sin (θ) + 4) - 25 = 0$

Étape 3.2.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \sin (θ) (r \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ) + 4) - 25 = 0$

Étape 3.2.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \sin (θ) (r \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Étape 3.2.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.6.1.1

Multipliez $r$ par $r$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.6.1.1.1

Déplacez $r$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \cdot r \sin (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Étape 3.2.1.6.1.1.2

Multipliez $r$ par $r$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Étape 3.2.1.6.1.2

Multipliez $r^{2} \sin (θ) \sin (θ)$ .

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Étape 3.2.1.6.1.2.1

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} (\sin (θ) \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Étape 3.2.1.6.1.2.2

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} (\sin (θ) \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Étape 3.2.1.6.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} {\sin (θ)}^{1 + 1} + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Étape 3.2.1.6.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Étape 3.2.1.6.1.3

Déplacez $4$ à gauche de $r \sin (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + 4 \cdot (r \sin (θ)) + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Étape 3.2.1.6.1.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + 4 r \sin (θ) + 4 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Étape 3.2.1.6.2

Additionnez $4 r \sin (θ)$ et $4 r \sin (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Étape 3.2.2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.2.2.1

Déplacez $r^{2} \sin^{2} (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Étape 3.2.2.2

Factorisez $r^{2}$ à partir de $r^{2} \cos^{2} (θ)$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Étape 3.2.2.3

Factorisez $r^{2}$ à partir de $r^{2} \sin^{2} (θ)$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ)) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Étape 3.2.2.4

Factorisez $r^{2}$ à partir de $r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ))$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Étape 3.2.3

Réorganisez les termes.

$r^{2} (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Étape 3.2.4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$r^{2} \cdot 1 - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Étape 3.2.5

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $r^{2}$ par $1$ .

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Étape 3.2.5.2

Additionnez $9$ et $16$ .

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) + 25 - 25 = 0$

Étape 3.2.5.3

Associez les termes opposés dans $r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) + 25 - 25$ .

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Étape 3.2.5.3.1

Soustrayez $25$ de $25$ .

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) + 0 = 0$

Étape 3.2.5.3.2

Additionnez $r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ)$ et $0$ .

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) = 0$

Étape 3.3

Factorisez $r$ à partir de $r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ)$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $r$ à partir de $r^{2}$ .

$r \cdot r - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) = 0$

Étape 3.3.2

Factorisez $r$ à partir de $- 6 r \cos (θ)$ .

$r \cdot r + r (- 6 \cos (θ)) + 8 r \sin (θ) = 0$

Étape 3.3.3

Factorisez $r$ à partir de $8 r \sin (θ)$ .

$r \cdot r + r (- 6 \cos (θ)) + r (8 \sin (θ)) = 0$

Étape 3.3.4

Factorisez $r$ à partir de $r \cdot r + r (- 6 \cos (θ))$ .

$r (r - 6 \cos (θ)) + r (8 \sin (θ)) = 0$

Étape 3.3.5

Factorisez $r$ à partir de $r (r - 6 \cos (θ)) + r (8 \sin (θ))$ .

$r (r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)) = 0$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$r = 0$

$r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ) = 0$

Étape 3.5

Définissez $r$ égal à $0$ .

$r = 0$

Étape 3.6

Définissez $r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)$ égal à $0$ .

$r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ) = 0$

Étape 3.6.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $r$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.6.2.1

Ajoutez $6 \cos (θ)$ aux deux côtés de l’équation.

$r + 8 \sin (θ) = 6 \cos (θ)$

Étape 3.6.2.2

Soustrayez $8 \sin (θ)$ des deux côtés de l’équation.

$r = 6 \cos (θ) - 8 \sin (θ)$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $r (r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)) = 0$ vraie.

$r = 0$

$r = 6 \cos (θ) - 8 \sin (θ)$

$r = 0$

$r = 6 \cos (θ) - 8 \sin (θ)$