Algèbre Exemples

$y - 5 = f (\frac{x}{- 1})$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

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Étape 1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Soustrayez $f (\frac{x}{- 1})$ des deux côtés de l’équation.

$y - 5 - f \frac{x}{- 1} = 0$

Étape 1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{x}{- 1}$ .

$y - 5 - f (- 1 \cdot x) = 0$

Étape 1.1.2.2

Réécrivez $- 1 \cdot x$ comme $- x$ .

$y - 5 - f (- x) = 0$

Étape 1.1.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y - 5 - 1 \cdot - 1 f x = 0$

Étape 1.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y - 5 + 1 f x = 0$

Étape 1.1.2.5

Multipliez $f$ par $1$ .

$y - 5 + f x = 0$

Étape 1.1.3

Déplacez $- 5$ .

$y + f x - 5 = 0$

Étape 1.1.4

Remettez dans l’ordre $y$ et $f x$ .

$f x + y - 5 = 0$

Étape 1.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$f x + y = 5$

Étape 1.3

Divisez chaque terme par $5$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{f x}{5} + \frac{y}{5} = \frac{5}{5}$

Étape 1.4

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{f x}{5} + \frac{y}{5} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = \sqrt{5}$

$b = \sqrt{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(0, 0)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 5.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 5.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 5.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 5.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{5^{1} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 5.3.1.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{5 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 5.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{5 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{5 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{5 + 5^{1}}$

Étape 5.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{5 + 5}$

Étape 5.3.3

Additionnez $5$ et $5$ .

$\sqrt{10}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\sqrt{5}, 0)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- \sqrt{5}, 0)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm a, k)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\sqrt{10}, 0)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- \sqrt{10}, 0)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(\sqrt{10}, 0), (- \sqrt{10}, 0)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{5^{1} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{5 + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 8.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{5 + 5^{1}}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{5 + 5}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.3

Additionnez $5$ et $5$ .

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3.2

Associez $\sqrt{10}$ et $\sqrt{5}$ en un radical unique.

$\sqrt{\frac{10}{5}}$

Étape 8.3.3

Divisez $10$ par $5$ .

$\sqrt{2}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{\sqrt{10}}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 9.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{10}}$

Étape 9.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{10}}$

Étape 9.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{5^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{10}}$

Étape 9.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{10}}$

Étape 9.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5^{1}}{\sqrt{10}}$

Étape 9.3.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{5}{\sqrt{10}}$

Étape 9.3.2

Multipliez $\frac{5}{\sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{5}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Étape 9.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.3.1

Multipliez $\frac{5}{\sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Étape 9.3.3.2

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Étape 9.3.3.3

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Étape 9.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Étape 9.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 9.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 \sqrt{10}}{10^{1}}$

Étape 9.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{5 \sqrt{10}}{10}$

Étape 9.3.4

Annulez le facteur commun à $5$ et $10$ .

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Étape 9.3.4.1

Factorisez $5$ à partir de $5 \sqrt{10}$ .

$\frac{5 (\sqrt{10})}{10}$

Étape 9.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.4.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{5 \cdot 2}$

Étape 9.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \sqrt{10}}{5 \cdot 2}$

Étape 9.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{10}}{2}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

Étape 11

Simplifiez $1 \cdot x + 0$ .

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Étape 11.1

Additionnez $1 \cdot x$ et $0$ .

$y = 1 \cdot x$

Étape 11.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = x$

Étape 12

Simplifiez $- 1 \cdot x + 0$ .

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Étape 12.1

Additionnez $- 1 \cdot x$ et $0$ .

$y = - 1 \cdot x$

Étape 12.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = - x$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = x, y = - x$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(0, 0)$

Sommets : $(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

Foyers : $(\sqrt{10}, 0), (- \sqrt{10}, 0)$

Excentricité : $\sqrt{2}$

Paramètre focal : $\frac{\sqrt{10}}{2}$

Asymptotes : $y = x$ , $y = - x$

Étape 15