Algèbre Exemples

y - 5 = f (\frac{x}{- 1})

$y - 5 = f (\frac{x}{- 1})$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Soustrayez

f (\frac{x}{- 1})

$f (\frac{x}{- 1})$ des deux côtés de l’équation.

y - 5 - f \frac{x}{- 1} = 0

$y - 5 - f \frac{x}{- 1} = 0$

Étape 1.1.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Déplacez le moins un du dénominateur de

\frac{x}{- 1}

$\frac{x}{- 1}$ .

y - 5 - f (- 1 \cdot x) = 0

$y - 5 - f (- 1 \cdot x) = 0$

Étape 1.1.2.2

Réécrivez

- 1 \cdot x

$- 1 \cdot x$ comme

- x

$- x$ .

y - 5 - f (- x) = 0

$y - 5 - f (- x) = 0$

Étape 1.1.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

y - 5 - 1 \cdot - 1 f x = 0

$y - 5 - 1 \cdot - 1 f x = 0$

Étape 1.1.2.4

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 1

$- 1$ .

y - 5 + 1 f x = 0

$y - 5 + 1 f x = 0$

Étape 1.1.2.5

Multipliez

f

$f$ par

1

$1$ .

y - 5 + f x = 0

$y - 5 + f x = 0$

y - 5 + f x = 0

$y - 5 + f x = 0$

Étape 1.1.3

Déplacez

- 5

$- 5$ .

y + f x - 5 = 0

$y + f x - 5 = 0$

Étape 1.1.4

Remettez dans l’ordre

y

$y$ et

f x

$f x$ .

f x + y - 5 = 0

$f x + y - 5 = 0$

f x + y - 5 = 0

$f x + y - 5 = 0$

Étape 1.2

Ajoutez

5

$5$ aux deux côtés de l’équation.

f x + y = 5

$f x + y = 5$

Étape 1.3

Divisez chaque terme par

5

$5$ pour rendre le côté droit égal à un.

\frac{f x}{5} + \frac{y}{5} = \frac{5}{5}

$\frac{f x}{5} + \frac{y}{5} = \frac{5}{5}$

Étape 1.4

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à

1

$1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit

1

$1$ .

\frac{f x}{5} + \frac{y}{5} = 1

$\frac{f x}{5} + \frac{y}{5} = 1$

\frac{f x}{5} + \frac{y}{5} = 1

$\frac{f x}{5} + \frac{y}{5} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable

h

$h$ représente le décalage x par rapport à l’origine,

k

$k$ représente le décalage y par rapport à l’origine,

a

$a$ .

a = \sqrt{5}

$a = \sqrt{5}$

b = \sqrt{5}

$b = \sqrt{5}$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de

(h, k)

$(h, k)$ . Remplacez les valeurs de

h

$h$ et

k

$k$ .

(0, 0)

$(0, 0)$

Étape 5

Déterminez

c

$c$ , la distance du centre à un foyer.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de

a

$a$ et

b

$b$ dans la formule.

\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}

$\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Réécrivez

{\sqrt{5}}^{2}

${\sqrt{5}}^{2}$ comme

5

$5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.1

Utilisez

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ comme

5^{\frac{1}{2}}

$5^{\frac{1}{2}}$ .

\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}

$\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{5})}^{2}}

$\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 5.3.1.3

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

2

$2$ .

\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}

$\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 5.3.1.4

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 5.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{5^{1} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 5.3.1.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{5 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Réécrivez

${\sqrt{5}}^{2}$ comme

$5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{5}$ comme

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{5 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{5 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.2.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$\sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{5 + 5^{1}}$

Étape 5.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{5 + 5}$

Étape 5.3.3

Additionnez

$5$ et

$5$ .

$\sqrt{10}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant

$a$ à

$h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de

$h$ ,

$a$ et

$k$ dans la formule et simplifiez.

$(\sqrt{5}, 0)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant

$a$ à

$h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de

$h$ ,

$a$ et

$k$ dans la formule et simplifiez.

$(- \sqrt{5}, 0)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de

$(h \pm a, k)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant

$c$ à

$h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de

$h$ ,

$c$ et

$k$ dans la formule et simplifiez.

$(\sqrt{10}, 0)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant

$c$ à

$h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de

$h$ ,

$c$ et

$k$ dans la formule et simplifiez.

$(- \sqrt{10}, 0)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de

$(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(\sqrt{10}, 0), (- \sqrt{10}, 0)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de

$a$ et

$b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.1

Réécrivez

${\sqrt{5}}^{2}$ comme

$5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.1.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{5}$ comme

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.1.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.1.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{5^{1} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{5 + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.2

Réécrivez

${\sqrt{5}}^{2}$ comme

$5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.2.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{5}$ comme

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.2.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$\frac{\sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{5 + 5^{1}}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{5 + 5}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3.1.3

Additionnez

$5$ et

$5$ .

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3.2

Associez

$\sqrt{10}$ et

$\sqrt{5}$ en un radical unique.

$\sqrt{\frac{10}{5}}$

Étape 8.3.3

Divisez

$10$ par

$5$ .

$\sqrt{2}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de

$b$ et

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{\sqrt{10}}$

Étape 9.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Réécrivez

${\sqrt{5}}^{2}$ comme

$5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{5}$ comme

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{10}}$

Étape 9.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{10}}$

Étape 9.3.1.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$\frac{5^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{10}}$

Étape 9.3.1.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{10}}$

Étape 9.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5^{1}}{\sqrt{10}}$

Étape 9.3.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{5}{\sqrt{10}}$

Étape 9.3.2

Multipliez

$\frac{5}{\sqrt{10}}$ par

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{5}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Étape 9.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.3.1

Multipliez

$\frac{5}{\sqrt{10}}$ par

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Étape 9.3.3.2

Élevez

$\sqrt{10}$ à la puissance

$1$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Étape 9.3.3.3

Élevez

$\sqrt{10}$ à la puissance

$1$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Étape 9.3.3.4

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.3.5

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Étape 9.3.3.6

Réécrivez

${\sqrt{10}}^{2}$ comme

$10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.3.6.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{10}$ comme

$10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.3.6.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 \sqrt{10}}{10^{1}}$

Étape 9.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{5 \sqrt{10}}{10}$

Étape 9.3.4

Annulez le facteur commun à

$5$ et

$10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.4.1

Factorisez

$5$ à partir de

$5 \sqrt{10}$ .

$\frac{5 (\sqrt{10})}{10}$

Étape 9.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.4.2.1

Factorisez

$5$ à partir de

$10$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{5 \cdot 2}$

Étape 9.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \sqrt{10}}{5 \cdot 2}$

Étape 9.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{10}}{2}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme

$y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

Étape 11

Simplifiez

$1 \cdot x + 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Additionnez

$1 \cdot x$ et

$0$ .

$y = 1 \cdot x$

Étape 11.2

Multipliez

$x$ par

$1$ .

$y = x$

Étape 12

Simplifiez

$- 1 \cdot x + 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Additionnez

$- 1 \cdot x$ et

$0$ .

$y = - 1 \cdot x$

Étape 12.2

Réécrivez

$- 1 x$ comme

$- x$ .

$y = - x$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = x, y = - x$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre :

$(0, 0)$

Sommets :

$(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

Foyers :

$(\sqrt{10}, 0), (- \sqrt{10}, 0)$

Excentricité :

$\sqrt{2}$

Paramètre focal :

$\frac{\sqrt{10}}{2}$

Asymptotes :

$y = x$ ,

$y = - x$

Étape 15