Algèbre Exemples

$\cos^{2} (x) - \cos (x) = 2$

Étape 1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\cos^{2} (x) - \cos (x) - 2 = 0$

Étape 2

Factorisez $\cos^{2} (x) - \cos (x) - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(\cos (x) - 2) (\cos (x) + 1) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (x) - 2 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

Étape 4

Définissez $\cos (x) - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\cos (x) - 2$ égal à $0$ .

$\cos (x) - 2 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\cos (x) - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos (x) = 2$

Étape 4.2.2

La plage du cosinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $2$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 5

Définissez $\cos (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\cos (x) + 1$ égal à $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\cos (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (x) = - 1$

Étape 5.2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $π$ .

$x = π$

Étape 5.2.4

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - π$

Étape 5.2.5

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 5.2.6

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 5.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.7

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\cos (x) - 2) (\cos (x) + 1) = 0$ vraie.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$