Algèbre Exemples

$5^{3} \cdot t^{3} = 50^{3}$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $5^{3} \cdot t^{3} = 50^{3}$ par $5^{3}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $5^{3} \cdot t^{3} = 50^{3}$ par $5^{3}$ .

$\frac{5^{3} \cdot t^{3}}{5^{3}} = \frac{50^{3}}{5^{3}}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $5^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5^{3} \cdot t^{3}}{5^{3}} = \frac{50^{3}}{5^{3}}$

Étape 1.2.1.2

Divisez $t^{3}$ par $1$ .

$t^{3} = \frac{50^{3}}{5^{3}}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Élevez $50$ à la puissance $3$ .

$t^{3} = \frac{125000}{5^{3}}$

Étape 1.3.2

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$t^{3} = \frac{125000}{125}$

Étape 1.3.3

Divisez $125000$ par $125$ .

$t^{3} = 1000$

Étape 2

Soustrayez $1000$ des deux côtés de l’équation.

$t^{3} - 1000 = 0$

Étape 3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez $1000$ comme $10^{3}$ .

$t^{3} - 10^{3} = 0$

Étape 3.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = t$ et $b = 10$ .

$(t - 10) (t^{2} + t \cdot 10 + 10^{2}) = 0$

Étape 3.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Déplacez $10$ à gauche de $t$ .

$(t - 10) (t^{2} + 10 t + 10^{2}) = 0$

Étape 3.3.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$(t - 10) (t^{2} + 10 t + 100) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$t - 10 = 0$

$t^{2} + 10 t + 100 = 0$

Étape 5

Définissez $t - 10$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez $t - 10$ égal à $0$ .

$t - 10 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$t = 10$

Étape 6

Définissez $t^{2} + 10 t + 100$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez $t^{2} + 10 t + 100$ égal à $0$ .

$t^{2} + 10 t + 100 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $t^{2} + 10 t + 100 = 0$ pour $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 10$ et $c = 100$ dans la formule quadratique et résolvez pour $t$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 100)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$t = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 100$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$t = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $100$ .

$t = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 400}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.3

Soustrayez $400$ de $100$ .

$t = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 300}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.4

Réécrivez $- 300$ comme $- 1 (300)$ .

$t = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 300}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (300)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}$ .

$t = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$t = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.7

Réécrivez $300$ comme $10^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1.7.1

Factorisez $100$ à partir de $300$ .

$t = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{100 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.7.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$t = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{10^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$t = \frac{- 10 \pm i \cdot (10 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.9

Déplacez $10$ à gauche de $i$ .

$t = \frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$t = \frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2}$ .

$t = - 5 \pm 5 i \sqrt{3}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$t = - 5 + 5 i \sqrt{3}, - 5 - 5 i \sqrt{3}$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(t - 10) (t^{2} + 10 t + 100) = 0$ vraie.

$t = 10, - 5 + 5 i \sqrt{3}, - 5 - 5 i \sqrt{3}$