Algèbre Exemples

$y = {(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = {(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4}}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme ${(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4}} = x$ .

${(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4}} = x$

Étape 2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $4$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = x^{4}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${({(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 2.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Étape 2.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Étape 2.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2^{y} - 3)}^{1} = x^{4}$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez

$2^{y} - 3 = x^{4}$

Étape 2.4

Résolvez $y$ .

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Étape 2.4.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2^{y} = x^{4} + 3$

Étape 2.4.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{y}) = \ln (x^{4} + 3)$

Étape 2.4.3

Développez $\ln (2^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (2) = \ln (x^{4} + 3)$

Étape 2.4.4

Divisez chaque terme dans $y \ln (2) = \ln (x^{4} + 3)$ par $\ln (2)$ et simplifiez.

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Étape 2.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y \ln (2) = \ln (x^{4} + 3)$ par $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}$

Étape 2.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 2.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}$

Étape 2.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}$ est l’inverse de $f (x) = {(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{\ln ({({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4} + 3)}{\ln (2)}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{\ln ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 3)}{\ln (2)}$

Étape 4.2.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{\ln ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 3)}{\ln (2)}$

Étape 4.2.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{\ln ((2^{x} - 3) + 3)}{\ln (2)}$

Étape 4.2.3.1.2

Simplifiez

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{\ln (2^{x} - 3 + 3)}{\ln (2)}$

Étape 4.2.3.2

Associez les termes opposés dans $2^{x} - 3 + 3$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{\ln (2^{x} + 0)}{\ln (2)}$

Étape 4.2.3.2.2

Additionnez $2^{x}$ et $0$ .

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{\ln (2^{x})}{\ln (2)}$

Étape 4.2.4

Développez $\ln (2^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

Étape 4.2.5

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 4.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

Étape 4.2.5.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = {(2^{\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}} - 3)}^{\frac{1}{4}}$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Utilisez la règle du changement de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = {(2^{\log_{2} (x^{4} + 3)} - 3)}^{\frac{1}{4}}$

Étape 4.3.3.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = {(x^{4} + 3 - 3)}^{\frac{1}{4}}$

Étape 4.3.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.3.4.1

Associez les termes opposés dans $x^{4} + 3 - 3$ .

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Étape 4.3.4.1.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = {(x^{4} + 0)}^{\frac{1}{4}}$

Étape 4.3.4.1.2

Additionnez $x^{4}$ et $0$ .

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = {(x^{4})}^{\frac{1}{4}}$

Étape 4.3.4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 4.3.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = x^{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 4.3.4.2.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = x^{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 4.3.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}$ est l’inverse de $f (x) = {(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}$